Tìm các giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}}&{{\rm{khi}}}&{x < 0}\\{m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ge 0}\end{array}} \right.\) liên tục tại \[x = 0\]?

Chọn C

Ta có \(1 + 2 + 3 + ... + k\) là tổng của cấp số cộng có \({u_1} = 1\), \(d = 1\) nên \(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{\left( {1 + k} \right)k}}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2 + ... + k}} = \frac{2}{{k\left( {k + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{k} - \frac{2}{{k + 1}}\), \(\forall k \in {\mathbb{N}^*}\).

\(L = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = 2\).

Ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {ax + b} + cx}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - (c{x^2} - ax - b)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {ax + b} - cx} \right)}} = - \frac{1}{2}\,\,\,\,(*)\]

Để xảy ra (*) thì điều kiện cần là

\[\left\{ \begin{array}{l} - ({c^2}{x^2} - ax - b) = k{(x - 1)^2}\,\,\,(k \ne 0)\\\sqrt {a.1 + b} - c \ne 0\\\frac{k}{{\sqrt {a.1 + b} - c}} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 0\\\,a = - 2k,\,\,b = k\,\\\sqrt {a + b} - c \ne 0\,\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}c = \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} - \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2}\,\,\,(PTVN)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}c = - \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} + \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow k = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\,\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2k = 2\\b = k = - 1\\c = \sqrt { - k} = 1\end{array} \right.\]

Thử lại: với \(a = 2,b = - 1,\,c = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.