Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm có một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, đường parabol đó đi qua hai đầu mút của mỗi cạnh (xem hình sau). Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất sau dấu phẩy theo đơn vị decimet vuông).

Hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm.

Diện tích của hình lục giác đều có thể được tính bằng công thức:

\({S_{{\rm{Luc}}\,\,{\rm{giac\;}}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.{a^2}\) với \(a = 2{\rm{dm}}\).

Thay vào công thức ta có: \({S_{{\rm{Luc giac\;}}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{.2^2} = 6\sqrt 3 \,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho trung điểm của cạnh là \(AB\), với \(A\left( {1,0} \right),B\left( { - 1,0} \right)\) và đỉnh \(I\left( {0,3} \right)\) của parabol.

Phương trình của parabol có dạng: \(y = a{x^2} + b\).

Do parabol đi qua các điểm \(A\) và \(B\) nên ta có: \(y =  - 3{x^2} + 3\).

Diện tích mỗi cánh hoa được tính bằng tích phân: \({S_{{\rm{C\'a nh\;hoa\;}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 3{x^2} + 3} \right){\rm{d}}x} \).

Tính tích phân: \({S_{{\rm{c\'a nh\;hoa\;}}}} = \left[ { - {x^3} + 3x} \right]\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right. = \left( { - 1 + 3} \right) - \left( {1 - 3} \right) = 4{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\).

Hình có 6 cánh hoa nên tổng diện tích của các cánh hoa là:\({S_{{\rm{Tong c\'a nh\;hoa\;}}}} = 6.4 = 24\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\).

Tổng diện tích của hình bao gồm cả hình lục giác và các cánh hoa là:

\({S_{{\rm{Tong\;}}}} = {S_{{\rm{Luc\;gi\'a c\;}}}} + {S_{{\rm{Tong c\'a nh\;hoa\;\;}}}} = 6\sqrt 3  + 24 \approx 34,4\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp án: 34,4.