Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu \(f\left( t \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau \(t\) giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ \(f'\left( t \right) = {t^2} - 8t\) (con/giờ).

a) Họ nguyên hàm của \(f'\left( t \right)\) là \(\frac{{{t^3}}}{3} - 8{t^2} + C\) \(\left( {C \in \mathbb{R}} \right)\).

b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến 10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.

c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.

d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.

a) Sai. Chi phí mua 1 sản phẩm ứng với \(x = 0\), sau ra \(C = 5000.25 = 125\,000\) (đồng).

b) Đúng. Với \(x = 1\) ta có: \(C = 5000\left( {25 + 3\int\limits_0^1 {{t^{\frac{1}{4}}}{\rm{d}}t} } \right) = 137\,000\) (đồng).

Suy ra chi phí bảo trì năm đầu tiên của sản phẩm là \(137\,000 - 125\,000 = 12\,000\) (đồng).

c) Sai. Gọi \(x\)là số năm mà số tiền bảo trì bằng số tiền mua sản phẩm. Khi đó tổng số tiền mua và số tiền bảo trì là \(2 \cdot 125\,000 = 250\,000\).

\(5000\left( {25 + 3\int\limits_0^x {{t^{\frac{1}{4}}}{\rm{d}}t} } \right) = 250\,000 \Leftrightarrow 25 + 3\left( {\frac{4}{5}{t^{\frac{5}{4}}}|_0^x} \right) = 50 \Leftrightarrow \frac{{12}}{5}{x^{\frac{5}{4}}} = 25 \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{{75}}{2}} \right)^{\frac{4}{5}}} \approx 6,52\) năm.

d) Sai. Số tiền mua và bảo trì 1 sản phẩm trong 10 năm là:

\(C = 5000\left( {25 + 3\int\limits_0^{10} {{t^{\frac{1}{4}}}{\rm{d}}t} } \right) = 5000\left( {25 + 24\sqrt[4]{{10}}} \right) \approx 338\,393,53\) (đồng).

Ta có: \(\frac{{10\,000\,000}}{{338\,393,53}} \approx 29,55\).

Vậy với 10 triệu đồng thì họ có thể mua và bảo trì tối đa 29 sản phẩm.

a) Đúng. \({S_{{\rm{taxi}}}} = \int\limits_0^{20} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right)} \,{\rm{d}}t \approx 187\left( {\rm{m}} \right)\).

b) Đúng. Quãng đường xe cứu thương từ \(t = 1\)đến \(t = 18\) là \({S_{ct}} = \frac{1}{2}a{.17^2} = \frac{{289a}}{2}\).

Quãng đường xe taxi đi từ \(t = 0\) đến \(t = 18\) là \({S_{{\rm{tax}}i}} = \int\limits_0^{18} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right)dt}  = 150\,{\rm{m}}\).

Khi đó ta có \(\frac{{289a}}{2} = 150 \Rightarrow a = \frac{{300}}{{289}}\).

c) Sai. Vận tốc xe cứu thương \(\frac{{300}}{{289}}.17 \approx 18\).

d) Đúng.

Quãng đường xe cứu thương \(\frac{1}{2}.\frac{{300}}{{289}}.289 + \frac{{5100}}{{289}}.11 \approx 344,3\).

Vận tốc trung bình của xe cứu thương là \(\frac{{344,3}}{{28}} \approx 12,3\).

Quãng đường taxi trong 28 giây là \(\int_0^{28} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{116}}{{135}}t} \right)dt}  \approx 209,3\).

Vận tốc trung bình của xe taxi là \(\frac{{209,3}}{{28}} \approx 7,5\).

Xe cứu thương có vận tốc trung bình lớn hơn.