Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu \(f\left( t \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau \(t\) giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ \(f'\left( t \right) = {t^2} - 8t\) (con/giờ).

a) Họ nguyên hàm của \(f'\left( t \right)\) là \(\frac{{{t^3}}}{3} - 8{t^2} + C\) \(\left( {C \in \mathbb{R}} \right)\).

b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến 10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.

c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.

d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.

a) Đúng. \[h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( { - 0,8t + 4,16} \right){\rm{d}}t}  =  - 0,4{t^2} + 4,16t + C\].

Mà \[h\left( 0 \right) = 2,2\] nên \[C = 2,2\] nên \[h\left( t \right) =  - 0,4{t^2} + 4,16t + 2,2\,\left( {\rm{m}} \right)\].

b) Đúng. Quả cầu đạt độ cao cao nhất tại thời điểm \[t =  - \frac{{4,16}}{{2.\left( { - 0,4} \right)}} = 5,2\,\left( {\rm{s}} \right)\].

c) Đúng. Độ cao cao nhất của quả cầu bằng \[h\left( {5,2} \right) = 13,016\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

d) Sai. Quả cầu chạm đất khi \[h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - \,0,4\,{t^2} + 4,16t + \,2,2 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 10,9\\t \approx  - 0,5\,\end{array} \right.\].

Vì \[t > 0\] nên chọn \[t \approx 10,9\,\left( {\rm{s}} \right)\].

Để tính diện tích phần đổ bê tông, ta cần xác định diện tích giữa hai đường cong \(AB\) và \(DC\)

Đường cong DC là kết quả của việc tịnh tiến đường cong \(AB\) lên trên \(2\)m.

Giả sử hàm số của đường cong \(AB\) là \(f\left( x \right)\) thì hàm số của đường cong \(DC\) là \(f\left( x \right) + 2\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong là: \[S = \int\limits_0^{10} {\left[ {f\left( x \right) + 2 - f\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = 20\,{{\rm{m}}^2}\].

Lớp bê tông có độ dày là \(15\)cm tức là \(0,15\)m thì có thể tích là: \(20.0,15 = 3{{\rm{m}}^3}\).

Chi phí tổng cộng để đổ bê tông con đường đó là: \(3.1\,080\,000 = 3\,240\,000\) (đồng).