Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có hai trục \(Ox,\;Oy\) đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia \(Oz\) hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét. Một thiết bị phát sóng \(M\)đặt tại điểm \(A\left( {80;60;60} \right)\). Vùng phủ sóng của thiết bị \(M\) có bán kính \(500\) mét. Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox.\)

a) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên trục \(Oy\)từ vị trí \(B\) theo hướng của vectơ \(\overrightarrow {BO} \). Thiết bị thu sóng \(N\)phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng \[60,3\]mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
b) Điểm \[B\] không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
c) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì có thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
d) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 490\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có hai trục \(Ox,\;Oy\) đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia \(Oz\) hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét. Một thiết bị phát sóng \(M\)đặt tại điểm \(A\left( {80;60;60} \right)\). Vùng phủ sóng của thiết bị \(M\) có bán kính \(500\) mét. Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox.\)

a) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên trục \(Oy\)từ vị trí \(B\) theo hướng của vectơ \(\overrightarrow {BO} \). Thiết bị thu sóng \(N\)phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng \[60,3\]mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
b) Điểm \[B\] không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
c) Một thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì có thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
d) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 490\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Quảng cáo
Trả lời:
a) Sai. Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của thiết bị phát sóng \(M\) trong không gian là mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(A\left( {80;60;60} \right)\), bán kính \(500\) có phương trình\({\left( {x - 80} \right)^2} + {\left( {y - 60} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {500^2}\).
Gọi \[E\left( {0;t;0} \right)\] là giao điểm của \(Oy\) và \(\left( S \right)\). Khi đó
\[{\left( { - 80} \right)^2} + {\left( {t - 60} \right)^2} + {60^2} = {500^2} \Leftrightarrow {\left( {t - 60} \right)^2} = 240000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \\{t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \end{array} \right.\].
Ta có:
\[{t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_1}\left( {0;60 + 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_1}B = 550 + 200\sqrt 6 > 60,3\].
\[{t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_2}\left( {0;60 - 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_2}B = 550 - 200\sqrt 6 \approx 60,1\].
Thiết bị thu sóng \(N\)phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng \[60,1\]mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
b) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 80\,;\,550\,;\, - 60} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 80} \right)}^2} + {{550}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} > 500 = R\).
Vậy điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\) nên điểm \[B\] không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
c) Sai. Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox\) có VTCP \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\] có PTTS là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 490\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Suy ra: \(\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0\,;\,60\,;\, - 550} \right)\).
Khoảng cách ngắn nhất từ \(A\left( {80;60;60} \right)\) đường thẳng \(d\) là:
\(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {{60}^2} + {{\left( { - 550} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} > 500 = R\).
Vì vậy thiết bị thu sóng \(N\)(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì không thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị \[M\].
d) Sai. Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \(B\left( {0; - 490;0} \right)\) và song song với trục \(Ox\) có VTCP \[\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\] có PTTS là \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 490\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).
Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)
\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).
Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)
Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y > - 12\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {2.36} = 6\sqrt 2 \).
Đặt \(t = x + y \Rightarrow - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}} = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).
\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).
Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 } \approx 44\).
Đáp án: 44.
Lời giải
Do máy bay bay trên đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {200;70;118} \right)\) và \(\left( {80;105;113} \right)\) nên quỹ đạo bay của máy bay là đường thẳng có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 - 24t}\\{y = 70 + 7t}\\{z = 118 - t}\end{array}} \right.\)
Sau 50 giây, độ cao của máy bay giảm 400 m, tức là cao độ của máy bay giảm đi 4. Do máy bay bay với vận tốc không đổi nên sau 25 giây, độ cao của máy bay sẽ giảm đi thêm 200 m, tức là cao độ giảm đi thêm 2. Khi đó, tại thời điểm này, cao độ của máy bay là \(118 - 4 - 2 = 112\).
Xét phương trình \(118 - t = 112 \Leftrightarrow t = 6\). Khi đó, sau 75 giây, toạ độ của máy bay là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 200 - 24.6 = 56}\\{{y_0} = 70 + 7.6 = 112}\\{{z_0} = 118 - 6 = 112}\end{array}} \right.\).
Khoảng cách từ sân bay đến máy bay khi đó là
\(S = \sqrt {{{5600}^2} + {{11200}^2} + {{11200}^2}} = 16800\,{\rm{(m)}} = 16,8\,\,{\rm{(km)}}\).
Đáp án: 16,8.Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

