Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \[A\left( {1;1;1} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng tọa độ \[\left( {Oxy} \right)\] có phương trình tham số là:

Phương trình tham số của đường cáp là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {k \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}\]

Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4\,{\rm{m/s}}\) nên độ dài \(AM = 4t\) \(\left( m \right)\).

Vì vậy sau \[5\] (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \[M\] thì \(AM = 4.5 = 20\) \(\left( m \right)\).

Vì \[M \in d \Rightarrow M\left( { - 2;1 - 2k;5 + 6k} \right)\].

\[\overrightarrow {AM}  = \left( {0; - 2k;6k} \right)\]. Do 2 vec tơ \[\overrightarrow {AM} ;\vec u\] cùng hướng \(k > 0\).

\(AM = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}}  = 20 \Leftrightarrow 40{k^2} = 400 \Leftrightarrow k =  \pm \sqrt {10} \).

Vì \(k > 0 \Rightarrow k = \sqrt {10} \).

Vậy tọa độ \[M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\]. Khi đó \[a + 3b + c =  - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10}  = 6\].

Đáp án: 6.

a) Sai. Ta có \(OA = \sqrt {{{\left( { - 65} \right)}^2} + {{\left( { - 25} \right)}^2} + {{30}^2}}  \approx 75,8\,{\rm{km}}\).

Khi máy bay ở vị trí \(A\left( { - 65; - 25;30} \right)\) thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng \(d \approx 75,8\,{\rm{km}} > 70\,{\rm{km}}\).

Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay không theo dõi được máy bay.

b) Đúng. Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {1;\,1;\,0} \right)\]. Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( { - 65; - 25;30} \right)\) nên có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 65 + t\\y =  - 25 + t\\z = 30\end{array} \right.\).

c) Sai. Thay \(x,\,y,\,z\) theo \(t\) vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) ta được phương trình:

\({\left( { - 65 + t} \right)^2} + {\left( { - 25 + t} \right)^2} + {30^2} = 4900 \Leftrightarrow 2{t^2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) hoặc \(t = 85\)

Thay \(t = 5\) vào phương trình của đường thẳng \(d\) ta được \(M\left( { - 60; - 20;30} \right)\).

Thay \(t = 85\) vào phương trình của đường thẳng \(d\) ta được \(N\left( {20;60;30} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(M\left( { - 60; - 20;30} \right)\) và \(N\left( {20;60;30} \right)\).

Hay độ dài đoạn \(MN\) là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

\(MN = \sqrt {{{\left( {60 + 20} \right)}^2} + {{\left( {20 + 60} \right)}^2}}  = 80\sqrt 2 \,{\rm{km}}\).

Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quãng đường \(80\sqrt 2 \,{\rm{km}}\).

Thời gian đó bằng \(\frac{{80\sqrt 2 }}{{200}}.60 \approx 33,94\) phút.

d) Đúng. Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm \(O\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right)\) không quá \(70\,{\rm{km}}\). Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {70^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 4900\).