Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài \(120{\rm{ m,}}\) chiều rộng \(55{\rm{ m}}{\rm{.}}\) Chủ vườn dự kiến trồng cây cau xung quanh khu vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây cau và khoảng cách giữa hai cây cau liên tiếp bằng nhau và lớn nhất có thể (khoảng cách giữa hai cây là một số tự nhiên và đơn vị là mét).

(a) Kết quả phân tích số 120 và 55 ra thừa số nguyên tố: \(120 = {2^3} \cdot 3 \cdot 5;{\rm{ }}55 = 5 \cdot 11\).

(b) ƯCLN\(\left( {120,{\rm{ }}55} \right) = 5\).

(c) Chu vi khu vườn hình chữ nhật là \(175{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

(d) Số cây cau chủ vườn dự kiến trồng là 35 cây.

a) Sai.

Các ước của 45 là: \(1;\;\,3;\;\,5;\;\,9;\;\,15;\,{\rm{ }}45.\) Do đó, số \(a\) có tất cả 6 ước.

b) Đúng.

Các ước của 60 là: \(1;\;{\rm{ }}2;\;\,3;\;\,4;\;\,5;\;\,6;\;\,10;\;\,12;\;\,15;\;\,20;\;\,30;\;\,60.\)

Mà các ước của 45 là: \(1;\;\,3;\;\,5;\;\,9;\;\,15;\;\,45\) nên ƯC\(\left( {a,\;b} \right) = \left\{ {1;\;\,3;\;\,5;\;\,15} \right\}.\)

c) Đúng.

Từ b) suy ra: ƯCLN\(\left( {a,\;b} \right) = 15.\)

d) Sai.

Vì ƯCLN\(\left( {a,\;b} \right) = 15 \ne 1\) nên phân số \(\frac{a}{b} = \frac{{45}}{{60}}\) không là phân số tối giản.

Đáp án: 6

Nhận thấy \[\overline {345*} \] có tổng các chữ số là: \[3 + 4 + 5 + * = 12 + *\].

Do đó, để \[\overline {345*} \] chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9.

Suy ra \[12 + *\] phải chia hết cho 9,

Do đó, \[{\rm{B}}\left( 9 \right) = \left\{ {0;{\rm{ }}9;{\rm{ }}18;{\rm{ }}27;{\rm{ }}36;....} \right\}\]

Suy ra, tổng dáy số là số chia hết cho 9 thì \[*\] bằng 6.