Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì bể sẽ đầy trong \[4\] giờ \(48\) phút. Người ta cho vòi I

chảy trong \[4\] giờ rồi khóa vòi thứ nhất, vòi thứ hai tiếp tục chảy trong \(2\) giờ thì được

(\frac{2}{3}\) bể. Thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là bao nhiêu?

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian người thứ nhất hoàn thành xong công việc một mình;

\(y\) (giờ) là thời gian người thứ hai hoàn thành xong công việc một mình.

a) Sai. Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 1 giờ 12 phút nên một người không thể hoàn thành công việc sau 1 giờ.

b) Sai. Mỗi giờ phần việc người thứ nhất làm nhiều gấp rưỡi người thứ hai nên thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc nhiều hơn thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc.

c) Đúng. Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Trong 1 giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc) \(\left( {x,\,\,y > 0} \right)\).

Đổi: 1 giờ 12 phút \[ = \frac{5}{6}\] giờ.

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 1 giờ 12 phút nên \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\].   (1)

Mỗi giờ phần việc người thứ nhất làm nhiều gấp rưỡi người thứ hai nên \[\frac{1}{x} = \frac{3}{{2y}}.\]                     (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{1}{x} = \frac{3}{{2y}}\end{array} \right.\].

Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ  nhất, ta được

\[\frac{3}{{2y}} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\]

\[\frac{5}{{2y}} = \frac{5}{6}\]

\[\frac{1}{y} = \frac{1}{3}\]

\(y = 3\) (TMĐK)

Vậy thời gian người thứ hai hoàn thành công việc nếu làm một mình là 3 giờ.

d) Sai. Thay \(y = 3\) thay vào \[\frac{1}{x} = \frac{3}{{2y}}\], ta có: \[\frac{1}{x} = \frac{3}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{2}\] nên \(x = 2\) (TMĐK).

Do đó, nếu làm một mình thì trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{2}\) công việc.

Ta có \( - 5x + 2y = 7\) hay \(2y = 5x + 7\).

Khi đó \(y = \frac{{5x + 7}}{2} = 2x + \frac{{x + 7}}{2}.\)

Đặt \(t = \frac{{x + 7}}{2}\) nên \(x = 2t - 7\).

Suy ra \(y = 2\left( {2t - 7} \right) + t\) nên \(y = 5t - 14\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\).

Nên nghiệm nguyên của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t - 7}\\{y = 5t - 14}\end{array}} \right.\)\(\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \[x,{\rm{ }}y\] nguyên âm nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t - 7 < 0}\\{5t - 14 < 0}\end{array}} \right.\)O10-2024-GV154O10-2024-GV147 nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < \frac{7}{2}}\\{t < \frac{{14}}{5}}\end{array}} \right.\) suy ra \(t\)\( < \frac{{14}}{5}\).

Vì nghiệm nguyên âm lớn nhất, mà \[t\] nguyên nên \(t = 2\)

Vậy \(x =  - 3\,;\,\,y =  - 4.\)

Đáp án: −7.