Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng\(1\), có tâm \(O\). Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn \(OI\) sao cho \(MO = \frac{1}{2}MI\). Gắn hệ trục tọa độ \(A'xyz\) như hình vẽ.

(a) Toạ độ điểm \(M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)\).

(b) Toạ độ các điểm \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\) và \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).

(c) Trong không gian giả sử điểm \(P,Q\) sao cho \(\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} \); \(\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \) và \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A'PQ\), khi đó \(a - b + c = 0\).

(d) Trong không gian có đúng 2 điểm \(N\) sao cho \(N\) không trùng với các điểm \(A\), \(B'\), \(D'\) và \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \].

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát \(2,5\,\,{\rm{km}}\) về phía nam và \(1,5\,\,{\rm{km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(60\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát \(3\,\,{\rm{km}}\) về phía bắc và \(2,5\,\,{\rm{km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(40\,\,{\rm{m}}.\)Trong không gian, xét hệ tọa độ \(Oxyz\) với gốc toạ độ \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ \(a\,\,{\rm{km}}\) theo hướng bắc và \(b\,\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Khi đó \(a + b\) bằng bao nhiêu?

Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.

Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật CDFE và một hình thang ADFG với các điểm \(G\left( {6; - 6;6} \right);C\left( {3;4;8} \right);F\left( {4; - 4;7} \right)\) và điểm \(I\) là trung điểm CE.

Biết góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) bằng \(a^\circ \). Tìm a (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 100 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 600 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]có gốc \(O\) trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng với mặt đất sao cho trục \[Ox\] hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình dưới) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét).

Một máy bay tại vị trí \(F\) cách mặt đất \(12{\rm{ km}}\), cách \(400{\rm{ km}}\) về phía tây và \(300{\rm{ km}}\) về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Từ vị trí \(F\), máy bay bay với tốc độ \(900{\rm{ km/h}}\), theo hướng của vectơ \(\vec a = \left( {3;4;0} \right)\) sau một giờ đến vị trí \(A\).

(a) Tọa độ của ra đa đặt trên tháp \((0;0;0,1)\).

(b) Vị trí \(F\) nằm trong phạm vi kiểm soát của ra đa.

(c)Vị trí \(A\) có tọa độ \(A(940;420;0)\).

(d)Trong khoảng thời gian một giờ máy bay bay từ vị trí \(F\) đến vị trí \(A\), máy bay có không quá 21 phút bay trong phạm vi theo dõi của của ra đa.

Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng \(3\) sợi dây không giãn, mỗi sợi dài 60 cm miếng kê là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính 20 cm ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của 3 sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá 15 N, trọng lượng của miếng giá gỗ là 5 N. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị Newton, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \], \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \], \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \]. Phân tích vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] theo \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] ta được

Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2;\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 6\), góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(120^\circ \). Khẳng định nào dưới đây đúng?