Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục \[Ox\]và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục \[Ox\] như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).

(a) Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi \[{V_1} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \].

(b) Thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.

(c) Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là \[16\pi \].

(d) Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là \[3\pi \].

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Giả sử chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong \(x\) năm có thể được mô hình hóa theo công thức \(C = 5000\left( {25 + 3\int\limits_0^x {{t^{\frac{1}{4}}}{\rm{d}}t} } \right)\) (đồng).

(a) Chi phí mua 1 sản phẩm là 100 000 đồng.

(b) Chi phí bảo trì năm đầu tiên của 1 sản phẩm là \(12\,000\)đồng.

(c) Sau 6,5 năm thì số tiền mua một sản phẩm bằng số tiền bảo trì sản phẩm đó.

(d) Nếu một nhà đầu tư có 10 triệu đồng, thì họ có thể mua và bảo trì tối đa 30 sản phẩm trong 10 năm.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(60\)cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên).

Tính diện tích phần cánh hoa của viên gạch (đơn vị: cm²).

Người ta chế tác một giọt nước bằng thủy tinh. Biết giọt nước thủy tinh này là vật thể tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4 - {x^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( { - 2 \le x \le 0,6} \right)\\ - \frac{{\sqrt {91} }}{{20}}x + \frac{{23\sqrt {91} }}{{100}}\,\,\,\,\left( {0,6 < x \le 4,6} \right)\end{array} \right.\] và trục \[Ox\] quanh trục \[Ox\] (đơn vị trên trục là centimet).

(a) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 0,6\].

(b) Diện tích mặt cắt của giọt nước thủy tinh khi cắt bởi mặt phẳng qua trục được tính bởi công thức \[S = 2\int\limits_{ - 2}^{4,6} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \] cm².

(c) Thể tích của giọt nước thủy tinh này lớn hơn 40 cm³.

(d) Biết khối lượng riêng của thủy tinh là \[\rho = 2,6\] g/cm³, khối lượng của giọt nước thủy tinh này là 102,22 g (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình vẽ dưới đây:

(a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

(b) Tính quãng đường và vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'\left( t \right) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P\left( t \right)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích (đơn vị: m³) phần không gian phía trong trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp.

Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu \(f\left( t \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau \(t\) giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ \(f'\left( t \right) = {t^2} - 8t\) (con/giờ).

(a) Họ nguyên hàm của \(f'\left( t \right)\) là \(\frac{{{t^3}}}{3} - 8{t^2} + C\)\(\left( {C \in \mathbb{R}} \right)\).

(b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến 10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.

(c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.

(d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.