Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z , cho đường thẳng d : x − 1 /2 = y + 1 /− 1 = z − 2 /1 và mặt phẳng ( P ) : − x + 2 y + z − 3 = 0 . a) Điểm A ( 1 ; − 1 ; − 2 ) nằm

a) Sai. Điểm \(A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\) không nằm đường thẳng \(d\) vì \(\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2 - 2}}{1}\).

b) Đúng. Đường thẳng \(d\) có 1 vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow u _d} = \left( {2;\, - 1;\,1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\,{{\overrightarrow u }_d}} \right] = \left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_d} \cdot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}} \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt 6  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = 30^\circ \).

d) Sai. \(N = \Delta  \cap d\).

\(N \in d \Rightarrow N\left( {1 + 2t;\, - 1 - t;\,2 + t} \right)\).

\(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2t + 4;\, - t - 2;\,t} \right)\).

Ta có \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  \cdot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0\)\( \Rightarrow \left( {2t + 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - t - 2} \right) \cdot 2 + t \cdot 1 = 0\)

Suy ra \(t =  - \frac{8}{3}\).

Vậy \(N\left( { - \frac{{13}}{3};\frac{5}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).

Suy ra \(a + b + c =  - \frac{{13}}{3} + \frac{5}{3} - \frac{2}{3} =  - \frac{{10}}{3}\).