Một công ty xây dựng một hệ thống giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí A , B trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí.

\(d\left( {A,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 5 - 2.\left( { - 2} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 8\) và \(d\left( {B,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 2.2 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\).

\(AB \cap \left( P \right) = M \Rightarrow M\) cố định.

Do \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(C\) nên \(MC \bot IC\) tại \(C\).

\( \Rightarrow MA.MB = M{C^2}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = d\left( {A;\;\left( P \right)} \right) = 8\\MB = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow M{C^2} = 16 \Leftrightarrow MC = 4\).

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\).

Ta có: \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 + t\\z =  - 2 - 2t\end{array} \right.\), \(M = AB \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O\left( P \right)} \right) = 3\), \(OH:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z =  - 2t\end{array} \right.\).

\(H = OH \cap \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow H\left( { - 2;\; - 1;\;2} \right)\), \(HM = \sqrt {13}  < 4\) nên \(H\) nằm trong đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\). Suy ra \(OC = \sqrt {O{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {9 + H{C^2}} \).

\( \Rightarrow OC\) đạt min hoặc max \( \Leftrightarrow HC\) đạt min hoặc max

\(\left\{ \begin{array}{l}H{C_{\min }} = \left| {HM - r} \right| = 4 - \sqrt {13} \\H{C_{\max }} = HM + r = 4 + \sqrt {13} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O{C_{\min }} = \sqrt {9 + \left( {4 - {{\sqrt {13} }^2}} \right)}  = {m_2}\\O{C_{\max }} = \sqrt {9 + {{\left( {4 + \sqrt {13} } \right)}^2}}  = {m_1}\end{array} \right.\).

Vậy \({m_1}^2 + {m_2}^2 = 76\).

Đáp án: 76.