Một khu bảo tồn thiên nhiên có hai trạm kiểm lâm và một trạm quan sát. Trong hệ toạ độ O x y z (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét)

a) Đúng. \(\overrightarrow {CD}  = \left( {60;80;0} \right) = 20.\left( {3;4;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(CD:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 3t\\y = 5 + 4t\\z = 0,1\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Gọi \[K\] là hình chiếu của \(I\) lên đường thẳng \(CD\).

Ta có: \[K\left( {10 + 3t;5 + 4t;0,1} \right) \in CD\]

\(\overrightarrow {IK}  = \left( {3t - 10;4t - 60; - 0,1} \right)\)

\(\overrightarrow {CD} \overrightarrow {.IK}  = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{54}}{5}\) nên \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].

Vậy khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất thì \(K\) là hình chiếu của \(I\) lên \(CD\) nên \[K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0,1} \right)\].

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {60;80;0} \right)\)\( \Rightarrow AB = 100\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Gọi \(h\) (giờ) là thời gian hai xe xuất phát đến lúc gặp nhau.

Ta có \(40h + 60h = 100\)\( \Leftrightarrow h = 1\) (giờ).

Quảng đường \(AM = 40\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \) suy ra \(M\left( {34;37;0} \right)\).

\[H\left( {10 + 3t;5 + 4t;0,1} \right) \in CD\] và \(\overrightarrow {MH}  = \left( {3t - 24;4t - 32;0,1} \right)\).

Do \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) nên \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {AB}  = 0 \Leftrightarrow t = 8\).

Vậy \[H\left( {34;37;0,1} \right)\].

c) Sai. Ta có \(AB = 100\), \(IA = \frac{{\sqrt {92501} }}{5}\), \(IB = \frac{{\sqrt {72501} }}{5}\).

Xét tam giác \(IAB\) có: \(\cos \widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}}}{{2.IA.IB}} \approx  - 0,51896\) nên \(\widehat {AIB} \approx 121^\circ \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {CD}  = \left( {60;80;0} \right) = 20\left( {3;4;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(CD:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 3t\\y = 5 + 4t\\z = 0,1\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Nên phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 3t}\\{y = 5 + 4t}\\{z = 0,1}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).