Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).

a) \(\int {f\left( x \right)} dx = x + \ln \left| x \right| + C\).

b) Nếu \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 2 + \ln 2\).

c) \(F\left( {2x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).

d) Hàm số \(f\left( {{e^x}} \right)\) có một nguyên hàm là \(2x + {e^{ - x}}\).

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx}  = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx = 2x + 2\ln \left| x \right| + C} \).

b) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx}  = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx}  = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Suy ra \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Mà \(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 2\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| - 2\).

Vậy \(F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2\).

c) Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}\).

\(\int {f\left( {2x} \right)dx}  = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C} \).

Mà \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C\).

Vậy \(F\left( {2x} \right)\) không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).

d) Hàm số \(f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}\) \( \Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)} dx = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx}  = 2x - {e^{ - x}} + C\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng;   c) Sai; d) Sai.