Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).

a) \(\int {f\left( x \right)} dx = x + \ln \left| x \right| + C\).

b) Nếu \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 2 + \ln 2\).

c) \(F\left( {2x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).

d) Hàm số \(f\left( {{e^x}} \right)\) có một nguyên hàm là \(2x + {e^{ - x}}\).

\(F\left( x \right) = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}  = {x^2} - \frac{1}{x} + C\).

a) F(1) = 3 \( \Rightarrow C = 3\). Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 3\).

b) F(1) = 0 \( \Rightarrow C = 0\). Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x}\).

Khi đó \(F\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

c) Đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) nên \(F\left( { - 1} \right) = 2\)\( \Rightarrow C = 0\).

Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x}\). Suy ra \(F\left( 2 \right) = {2^2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).

d) \(F\left( { - 2} \right) = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow C =  - \frac{{17}}{4}\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} - \frac{{17}}{4}\).

Hàm số \(g\left( x \right) = xF\left( x \right)\)\( = x\left( {{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{{17}}{4}} \right) = {x^3} - \frac{{17}}{4}x - 1\).

Ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{17}}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {51} }}{2}\) vì \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số có 1 điểm cực trị.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Sai; d) Sai.

a) \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{3}{{x - 1}}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2 + \frac{3}{{x - 1}}} \right)dx}  = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\) mà \(F\left( 2 \right) = 1\) \( \Rightarrow F\left( 2 \right) = 2.2 + 3\ln \left| {2 - 1} \right| + C = 1 \Rightarrow C =  - 3\).

Do đó \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).

d) \(F\left( x \right) = 2x + 2\)\( \Leftrightarrow 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3 = 2x + 2\)\( \Leftrightarrow \ln \left| {x - 1} \right| = \frac{5}{3}\)\( \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = {e^{\frac{5}{3}}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + {e^{\frac{5}{3}}}\\x = 1 - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.\).

Suy ra \(T = {x_1} + {x_2} = 2\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Đúng; d) Đúng.