PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Nguyên hàm \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = ax + b{\cot ^c}x + C\) (với a, b, c là các số nguyên dương).

Tính \(a + 4b + c\).

\(F\left( x \right) = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}  = {x^2} - \frac{1}{x} + C\).

a) F(1) = 3 \( \Rightarrow C = 3\). Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 3\).

b) F(1) = 0 \( \Rightarrow C = 0\). Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x}\).

Khi đó \(F\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

c) Đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) nên \(F\left( { - 1} \right) = 2\)\( \Rightarrow C = 0\).

Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x}\). Suy ra \(F\left( 2 \right) = {2^2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).

d) \(F\left( { - 2} \right) = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow C =  - \frac{{17}}{4}\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} - \frac{{17}}{4}\).

Hàm số \(g\left( x \right) = xF\left( x \right)\)\( = x\left( {{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{{17}}{4}} \right) = {x^3} - \frac{{17}}{4}x - 1\).

Ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{17}}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {51} }}{2}\) vì \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số có 1 điểm cực trị.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Sai; d) Sai.

a) \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {4\cos t} dt = 4\sin t + C\).

Mà \(v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 4\sin 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\).

Khi đó \(v\left( t \right) = 4\sin t\) m/s.

b) \(v\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{6} = 2\) m/s.

c) \(v\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2 \) m/s.

d) \(a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\cos \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2 \) m/s2.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng;   c) Sai; d) Đúng.