Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 5x\sin 2xdx} = \frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z},a < b\). Tính \(\frac{1}{a}a + b\).

Cho các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Giả sử \(\int\limits_2^7 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 2\) và \(\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = 4\). Khi đó \(\int\limits_2^7 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - x + 1\;\;khi\;x \ge 2\\x - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x < 2\end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).

Một ô tô xuất phát với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 2t + 12\) (m/s), sau khi đi được khoảng thời gian \({t_1}\) thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 24 - 6t\)(m/s) và đi thêm một khoảng thời gian \({t_2}\) nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét?

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi \(v\left( t \right) = 5 + 3t\) (m/s) với \(t\)là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 35 giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường máy bay di chuyển được sau \(t\) giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

a) \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\).

b) \(s\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t + 5\).

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường bằng là 2013 m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).