Rút gọn hai phân thức \(\frac{{x + y}}{{{x^2} - {y^2}}}\) và \(\frac{{{x^2} - 2xy + 4{y^2}}}{{{x^3} + 8{y^3}}}\) ta được hai phân thức lần lượt kí hiệu là \(P\) và \(Q.\) Khi đó:

          a) \(P = \frac{{x + y}}{{x - y}}.\)

          b) \(Q\) có tử thức bằng \(x + y.\)

c) Mẫu thức chung của \(P\) và \[Q\] là \(\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right).\)

d) Quy đồng mẫu thức của \(P\) và \[Q\] ta được \(P = \frac{{x + 2y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\) và \(Q = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}.\)

a) Sai.

Ta có: \(\frac{{x + y}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{1}{{x - y}}.\) Vậy \(P = \frac{1}{{x - y}}.\)

b) Sai.

Ta có: \(\frac{{{x^2} - 2xy + 4{y^2}}}{{{x^3} + 8{y^3}}} = \frac{{x - 2xy + 4{y^2}}}{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2xy + 4{y^2}} \right)}} = \frac{1}{{x + 2y}}.\) Do đó, \(Q = \frac{1}{{x + 2y}}.\)

Vậy \(Q\) có tử thức bằng \(1.\)

c) Đúng.

Theo a) và b) ta có: \(P = \frac{1}{{x - y}};\;\,Q = \frac{1}{{x + 2y}}.\) Do đó, mẫu thức chung của \(P\) và \[Q\] là \(\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right).\)

d) Đúng.

Ta có: \(P = \frac{1}{{x - y}} = \frac{{x + 2y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}};\;\,Q = \frac{1}{{x + 2y}} = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}.\)

Vậy quy đồng mẫu thức của \(P\) và \[Q\] ta được \(P = \frac{{x + 2y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\) và \(Q = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}.\)