Cho hai phân thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn:

\(\frac{x}{{{x^2} - 1}}:A = \frac{x}{{x + 1}};\;\,B:\frac{1}{{2x + 2}} = \frac{{x + 1}}{x}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne  - 1;\;\,x \ne 1.\)

a) \(A = \frac{1}{{x - 1}}.\)

b) \(B = \frac{1}{{2x}}.\)

c) \(A:B = \frac{{x - 1}}{{2x}}.\)

d) Với \(x > 1\) thì \(\frac{A}{B}\) có giá trị là số dương.

a) Đúng.

Ta có: \(A = \frac{x}{{{x^2} - 1}}:\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.\) Vậy \(A = \frac{1}{{x - 1}}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.\)

b) Đúng.

\(B = \frac{{x + 1}}{x} \cdot \frac{1}{{2x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{2x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2x}}.\) Vậy \(B = \frac{1}{{2x}}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.\)

c) Sai.

Ta có: \(A:B = \frac{1}{{x - 1}}:\frac{1}{{2x}} = \frac{{2x}}{{x - 1}}.\) Vậy \(A:B = \frac{{2x}}{{x - 1}}\) với \(x \ne 0;\;\,x \ne - 1;\;\,x \ne 1.\)

d) Đúng.

Với \(x > 1\) thì \(2x > 0;\;\,x - 1 > 0\) nên \(\frac{{2x}}{{x - 1}} > 0.\) Vậy với \(x > 1\) thì \(\frac{A}{B}\) có giá trị là số dương.