Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, giả sử \(f\left( x \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau x giờ làm thí nghiệm. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ tăng trưởng là \(f'\left( x \right) = {x^2} + 8x\) (con/giờ). Tính số lượng vi khuẩn sau 6 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\) và \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \).

a) \(F'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\).

b) Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

c) \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\).

d) Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{4}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + x + C\).

b) \(\int {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

c) Nếu \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) với \(G\left( 2 \right) = 5\) thì \(G\left( x \right) = {x^2} + x - 1\).

d) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), biết \(F\left( 1 \right) = 2\) và \(\frac{1}{{F\left( 1 \right)}} + \frac{1}{{F\left( 2 \right)}} + ... + \frac{1}{{F\left( {99} \right)}} + \frac{1}{{F\left( {100} \right)}} = \frac{a}{b}\) (\(a,b \in \mathbb{N},\frac{a}{b}\) tối giản) thì \(a + b = 201\).

Biết rằng hàm số \(F\left( x \right) = x + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\); hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4} + 2025\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\). Gọi \(H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} \), biết \(H\left( 4 \right) = 4\). Tính \(H\left( 1 \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{x^2} - x - 3,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\)là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và tiếp tuyến của \(F\left( x \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\) có hệ số góc bằng 0.

a) \(f'\left( { - 1} \right) = 0\).

b) \(f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x\).

c) \(f\left( 2 \right) = - \frac{7}{3}\).

d) \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t\), với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng nước có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách (km) xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.