Cho \({S_1},{S_2}\) là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình.

a) Phương trình đường thẳng d là \(y = x\).

b) Phương trình \(\left( P \right):y = - {x^2} - 4x\).

c) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} \).

d) \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{27}}{{38}}\).

a) Đường thẳng d đi qua điểm O(0; 0) và (3; 3) nên đường thẳng d có phương trình là \(y = x\).

b) Parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua (0; 0), (3; 3), (4; 0) nên (P): \(y =  - {x^2} + 4x\).

c) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|dx}  = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}\).

d) \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {x - \left( { - {x^2} + 4x} \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^4 {\left| { - 3x + {x^2}} \right|dx} \)\( =  - \int\limits_0^3 {\left( { - 3x + {x^2}} \right)dx}  + \int\limits_3^4 {\left( { - 3x + {x^2}} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4 = \frac{9}{2} + \frac{{11}}{6} = \frac{{19}}{3}\).

Suy ra \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{19}}{3} = \frac{{27}}{{38}}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.