Cho \({S_1},{S_2}\) là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình.

a) Phương trình đường thẳng d là \(y = x\).

b) Phương trình \(\left( P \right):y = - {x^2} - 4x\).

c) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} \).

d) \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{27}}{{38}}\).

Chọn trục Ox sao cho O trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên. Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy x thì mặt phẳng đó cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x. Mặt cắt là hình tròn có bán kính \(\left( {10 + \sqrt x } \right)\) cm.

Diện tích của mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi {\left( {10 + \sqrt x } \right)^2}\).

Dung tích của chậu là \(V = \int\limits_0^{16} {S\left( x \right)dx}  = \pi \int\limits_0^{16} {{{\left( {10 + \sqrt x } \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^{16} {\left( {100 + 20\sqrt x  + x} \right)dx} \)

\( = \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi  \approx 8109\) cm3.

Trả lời: 8109.

a) Hình phẳng có diện tích S3 khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là \(V = \pi \int\limits_c^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

b) Hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là \(V = \pi \int\limits_a^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

c) \({S_1} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

d) \({S_2} = \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.