Hình bên dưới minh họa mặt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình \(y = f\left( x \right) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)\). Biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, diện tích mặt cắt đứng của mức nước trong con kênh là một phân số tối giản có dạng \(\frac{a}{b}\) m², trong đó \(a,b \in \mathbb{N}*\). Tìm a.

Chọn trục Ox sao cho O trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên. Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy x thì mặt phẳng đó cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x. Mặt cắt là hình tròn có bán kính \(\left( {10 + \sqrt x } \right)\) cm.

Diện tích của mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi {\left( {10 + \sqrt x } \right)^2}\).

Dung tích của chậu là \(V = \int\limits_0^{16} {S\left( x \right)dx}  = \pi \int\limits_0^{16} {{{\left( {10 + \sqrt x } \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^{16} {\left( {100 + 20\sqrt x  + x} \right)dx} \)

\( = \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi  \approx 8109\) cm3.

Trả lời: 8109.

a) Hình phẳng có diện tích S3 khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là \(V = \pi \int\limits_c^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

b) Hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là \(V = \pi \int\limits_a^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

c) \({S_1} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

d) \({S_2} = \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.