Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(1; 0; 2), C(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – y + 2z + 7 = 0.

a) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là (2; 1; 1).

b) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(3; 1; 5).

c) Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 6.

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Ta có OA + OB + OC = a + b + c.

Vì M(1; 4; 9) Î (P) \( \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).

Ta có \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\)Þ \(a + b + c \ge 36\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.\).

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).

Vậy \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 36} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{{36}}{7} \approx 5,14\).

Trả lời: 5,14.

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 3;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2;1} \right)\). Hai vectơ này không cùng phương.

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Do ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tồn tại một mặt phẳng duy nhất qua ba điểm này.

c) Ta có mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;3} \right)\).

d) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.