Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(1; 0; 2), C(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – y + 2z + 7 = 0.

a) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là (2; 1; 1).

b) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(3; 1; 5).

c) Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 6.

a) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 4\).

b) (P) cắt trục Ox tại điểm \(\left( { - \frac{3}{2};0;0} \right)\) có hoành độ \( - \frac{3}{2}\).

c) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

d) Vì M Î (P) nên 2a – 2b + c + 3 = 0 (1).

Lại có \(AM = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\) Þ M là hình chiếu vuông góc của A lên (P).

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 1;b + 2;c - 3} \right)\) cùng phương với vectơ pháp tuyến của (P) \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Khi đó ta có \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\) (2).

Từ (1) và (2), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2a - 2b + c + 3 = 0\\\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{5}{3}\\b = \frac{2}{3}\\c = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.