Cho hình chóp \[S.ABCD\] với \[M\] là một điểm nằm trên cạnh \[SC\], \[N\] là một điểm trên cạnh \[BC\]. Gọi \[O = AC \cap BD\] và \[K = AN \cap CD\]. Khi đó:

a) \[SO\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\].

b) Giao điểm của đường thẳng \[AM\] và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] là điểm nằm trên cạnh \[SO.\]

c) \[KM\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] và \[\left( {SCD} \right).\]

d) Giao điểm của đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] là điểm nằm trên cạnh \[KM.\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 3\]

\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 15\].

Do đó, tập giá trị của hàm số \[d\left( t \right)\] là \[\left[ {9;15} \right].\]

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \] \[ \Leftrightarrow t - 80 = 182k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:  \[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\]

Với \[k = 0\] thì \[t = 80 + 182.0 = 80;\]

Với \[k = 1\] thì \[t = 80 + 182.1 = 262.\]

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k = 1\].

Với \[k = 1\] thì \[t = - 11 + 364 = 353.\]

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay \[t = 107\] vào \[d\left( t \right)\], ta được \[d\left( {107} \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {107 - 80} \right)} \right] + 12 \approx 13,3\] giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,8

Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\], gọi \[F = KN \cap SD\].

Trong mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\], gọi \[E = KM \cap SA\].

Lúc này, mặt phẳng \[\left( {KMN} \right)\] cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác \[MNFE\].

Ta có: \[AD = 2BC\] thì \[BC\] là đường trung bình của tam giác \[KAD.\]

Suy ra \[M\] là trọng tâm của tam giác \[SAK\] và \[E\] là trung điểm của \[SA.\]

Tương tự \[EF\] là đường trung bình của tam giác \[SAD\] \[ \Rightarrow EF = \frac{1}{2}AD.\]

Mặt khác theo giả thiết, ta có \[SM = 2MB;SN = 2NC\] \[ \Rightarrow MN = \frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}AD.\]

Vì \[\frac{{MN}}{{EF}} = \frac{2}{3}\] nên \[\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{KFE}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow {S_{KMN}} = \frac{4}{9}{S_{KEF}};{S_{MNFE}} = \frac{5}{9}{S_{KEF}}\].

Vậy \[\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{MNFE}}}} = \frac{4}{5} = 0,8.\]