Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy \[ABCD\] là hình thang (\[AD\parallel BC,AD = 2BC\]). Gọi \[M,N\] lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \[SB,SC\] sao cho \[SM = 2MB,SN = 2NC.\] Gọi \[K = AB \cap CD\]. Tính tỉ số diện tích của tam giác \[KMN\] và diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[\left( {KMN} \right).\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 3\]

\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 15\].

Do đó, tập giá trị của hàm số \[d\left( t \right)\] là \[\left[ {9;15} \right].\]

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \] \[ \Leftrightarrow t - 80 = 182k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:  \[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\]

Với \[k = 0\] thì \[t = 80 + 182.0 = 80;\]

Với \[k = 1\] thì \[t = 80 + 182.1 = 262.\]

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k = 1\].

Với \[k = 1\] thì \[t = - 11 + 364 = 353.\]

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay \[t = 107\] vào \[d\left( t \right)\], ta được \[d\left( {107} \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {107 - 80} \right)} \right] + 12 \approx 13,3\] giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2190

Gọi \[{u_1};{u_2};.....;{u_{30}}\] lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, … và dãy ghế số ba mươi.

Ta có công thức truy hồi, ta có: \[{u_n} = {u_{n - 1}} + 4{\rm{ }}\left( {n = 2;3;...;30} \right)\].

Ký hiệu: \[{S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_{30}}\], theo công thức tổng các số hạng của số cấp số cộng, ta được: \[{S_{30}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} = \frac{{\left[ {2.15 + 29.4} \right].30}}{2} = 2190\].

Vậy khán phòng có tất cả \[2190\] ghế.