Hằng ngày, mặt trời chiếu vào bóng của một tòa chung cư cao \[40{\rm{ m}}\] in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức \[S\left( t \right) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\], ở đó \[S\] được tính bằng mét, còn \[t\] là số giờ tính từ \[6\] giờ sáng.

a) Thời điểm \[8\] giờ sáng thì độ dài bóng của tòa nhà là \[40\sqrt 3 {\rm{ m}}\].

b) Thời điểm \[12\] giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là \[\frac{{20\sqrt 3 }}{3}{\rm{ m}}\].

c) Thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà khoảng \[10{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

d) Thời điểm \[9\] giờ sáng hoặc \[3\] giờ chiều thì bóng của tòa nhà có độ dài bằng tòa nhà đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 149

Vì \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4\]

\[ \Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14\]

\[ \Leftrightarrow 6 \le y \le 14\].

Do đó, ngày có ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất khi \[y = 14\].

Suy ra \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t - 60 = 89 + 356k\]\[ \Leftrightarrow t = 149 + 356k\].

Mà \[t \in {\mathbb{N}^ * }\] và \[t \le 365\] nên \[0 < 149 + 356k \le 365\]\[ \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{89}}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\]. Do đó, \[k = 149\].

Vậy ngày thứ 149 trong năm thì thành phố A có số giờ ánh sáng chiếu nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2227

Đặt \[{P_0} = 2000000 = {2.10^6}\] và \[r = 1,2\% = 0,012\].

Gọi \[{P_n}\] là số dân của tỉnh M sau \[n\] năm nữa.

Ta có: \[{P_{n + 1}} = {P_n} + {P_n}r = {P_n}\left( {1 + r} \right).\]

Suy ra \[\left( {{P_n}} \right)\] là một cấp số nhân với số hạng đầu \[{P_0}\] và công bội \[q = 1 + r\].

Do đó, số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là

\[{P_9} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^9} = 2 \cdot {10^6} \cdot {\left( {1,012} \right)^9} \approx 2227\] (nghìn người).