Một cái hồ chứa \[600l\] nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối \[30g/l\] vào hồ với tốc độ \[15l\]/ phút. Sau \[t\] phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là \[600 + 15t\] (\[l\]) và lượng muối có được là \[30.15t\] (\[g\]).

a) Nồng độ muối của nước được tính là \[C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{40 + t}}{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].

b) Nồng độ muối trong hồ khi \[t\] tiến tới 15 phút nhỏ hơn \[8{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].

c) Nồng độ muối trong hồ khi \[t\] tiến tới dương vô cùng lớn hơn \[{\rm{30 }}\left( {g/l} \right)\].

d) Nồng độ muối trong hồ không thể vượt quá \[{\rm{30 }}\left( {g/l} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 149

Vì \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4\]

\[ \Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14\]

\[ \Leftrightarrow 6 \le y \le 14\].

Do đó, ngày có ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất khi \[y = 14\].

Suy ra \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t - 60 = 89 + 356k\]\[ \Leftrightarrow t = 149 + 356k\].

Mà \[t \in {\mathbb{N}^ * }\] và \[t \le 365\] nên \[0 < 149 + 356k \le 365\]\[ \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{89}}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\]. Do đó, \[k = 149\].

Vậy ngày thứ 149 trong năm thì thành phố A có số giờ ánh sáng chiếu nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[2\sin x - \sqrt 2 = 0\]

          \[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

          \[ \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\]

          \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Với \[k = - 1\] ta có: \[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{7\pi }}{4}\\x = - \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right.\].

Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \[x = - \frac{{5\pi }}{4}\].

Với \[ - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\] \[ \Leftrightarrow - \frac{{3\pi }}{4} < k2\pi < \frac{\pi }{4}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\] và \[x = \frac{\pi }{4}\].

Với \[ - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{4} < k2\pi < - \frac{\pi }{4}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{5}{8} < k < - \frac{1}{8}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên không có giá trị \[k\] thỏa mãn.

Do đó, số nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\] là một nghiệm.