Bảng dưới thống kê khối lượng một số quả táo được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Giả sử sau 5 giây cabin di chuyển đến điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow u \) cùng hướng suy ra \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u = \left( {t;2t; - 2t} \right)\left( {t > 0} \right)\).

Mà quãng đường cabin đi được trong 5 giây là \(6.5 = 30\)(m).

Do đó \(AM = 30 \Leftrightarrow A{M^2} = 900 \Leftrightarrow {t^2} + 4{t^2} + 4{t^2} = 900 \Rightarrow t = 10\).

Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {10;20; - 20} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 10\\y - 4 = 20\\z - 3 = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 24\\z = - 17\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {9;24; - 17} \right)\).

Khi đó khoảng cách giữa cabin và người quan sát là \(BM = \sqrt {{{\left( {9 - 2} \right)}^2} + {{\left( {24 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 17 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {881} \) m.

Gọi \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(f = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)\( = \left| {3\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\).

Bài toán trở thành tìm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì \({z_I}.{z_D} > 0\) nên điểm \(I\) và \(D\) nằm cùng phía với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(I'\left( {1;1;1} \right)\) là điểm đối xứng với \(I\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(f = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) = 3\left( {\left| {\overrightarrow {MI'} } \right| + \left| {\overrightarrow {MD} } \right|} \right) \ge 3I'D\).

Để \(f\) nhỏ nhất thì \(I';M;D\) thẳng hàng suy ra \(\overrightarrow {I'M} \) và \(\overrightarrow {I'D} \) cùng hướng

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 1}}{{ - 1}} = \frac{{b - 1}}{1} = \frac{{ - 1}}{{ - 3}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};0} \right)\).