Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 12. Biết độ dài của \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) bằng \(a\sqrt 6 \). Tìm \(a\).

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi \(I\left( {m;n} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. Giá trị của \(m + n\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 2;5;3} \right),C\left( {3;4;9} \right)\).

(a) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};4} \right)\).

(b) Đoạn \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó \(a + b + c = 6\).

(c) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6; - 3} \right)\).

(d) Với điểm \(D\left( {6; - 2;6} \right)\) thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Kết quả đo chiều cao (đơn vị: cm) của 25 học sinh nam lớp 12 ở một trường THPT được biểu diễn bởi mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng sau:

( a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R = 5\) cm.

(b) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) là 158.

(c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(s = 29,84\).

(d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 167,9.

Bạn An đang nằm nghe nhạc trong phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng 4 m, chiều cao của phòng là 3,2 m và phát hiện ra hai con nhện đang chăng tơ trong căn phòng của An, hai con nhện luôn di chuyển trên hai đường thẳng khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(ABCD\) là nền phòng của An thì con nhện thứ nhất được coi như điểm \(E\)di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh \(A\) đến trung điểm \(M\) của \(CC'\), còn con nhện thứ hai được coi như điểm \(F\) di chuyển trên đường dây tơ nối từ \(D'\) đến tâm \(I\) của mặt \(ABB'A'\). Tính khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà (đơn vị mét).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2}\) với \({x_1} \in \left( { - 1;0} \right),{x_2} \in \left( {1;2} \right)\). Biết hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\). Đồ thì hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Xác định dấu của các hệ số \(a,b,c,d\).