Giả sử giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\ln x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(\frac{{a\ln 2}}{b}\) với \(a,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(a - 5b\).

a) \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \) (theo quy tắc hình hộp).

b)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(DC\).

Ta có \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {DD'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).

\(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \)\( = - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \).

Khi đó \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\left( { - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = - {\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} \)

\( = - {\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2}\) (vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = 0\))

\( = - 9{a^2} + \frac{1}{3}.4{a^2} = - \frac{{23}}{3}{a^2}\).

c) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {4{a^2} + 9{a^2} + 16{a^2}} = a\sqrt {29} \).

d) Có \(AA' \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Số tiền bán hết \(x\) mét vải lụa là \(B\left( x \right) = 220x\) nghìn đồng.

Lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa là

\(L\left( x \right) = B\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right)\)\( = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

Có \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 10\) (vì \(1 \le x \le 18\)).

Ta có \(L\left( 1 \right) = - {1^3} + {3.1^2} + 240.1 - 500 = - 258\); \(L\left( {10} \right) = - {10^3} + {3.10^2} + 240.10 - 500 = 1200\);

\(L\left( {18} \right) = - {18^3} + {3.18^2} + 240.18 - 500 = - 1040\).

Vậy mỗi ngày hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra 10 mét vải thì thu được lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng