Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thuộc tia \(Ox\), \(B\) thuộc tia \(Oy\) và trọng tâm tam giác \(ABC\) thuộc tia \(Oz\). Tính tỉ số \(\frac{{OA}}{{OB}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;0;0} \right),B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;b;0} \right)\).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(G \in Oz \Rightarrow G\left( {0;0;c} \right)\).

Do đó \(C\left( { - a; - b;3c} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2a; - b;3c} \right)\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 2{a^2}\).

Khi đó \(\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giả sử giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\ln x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) bằng \(\frac{{a\ln 2}}{b}\) với \(a,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(a - 5b\).

Lời giải

Ta có \(y' = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \in \left[ {2;3} \right]\).

Ta có \(y\left( 2 \right) = \frac{{\ln 2}}{2};y\left( e \right) = \frac{1}{e};y\left( 3 \right) = \frac{{\ln 3}}{3}\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} y = \frac{{\ln 2}}{2}\). Suy ra \(a = 1;b = 2\). Do đó \(a - 5b = 1 - 5.2 = - 9\).

Trả lời: \( - 9\).

Câu 2

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2a,AD = 3a,A'A = 4a\).

( a) \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \).

( b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(D'DC\). Khi đó \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {DB} = - \frac{{23}}{3}{a^2}\).

( c) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CC'} } \right| = a\sqrt {29} \).

( d) \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = 12{a^2}\).

Lời giải

a) \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \) (theo quy tắc hình hộp).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(DC\).

Ta có \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {DD'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).

\(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \)\( = - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \).

Khi đó \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\left( { - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = - {\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} \)

\( = - {\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2}\) (vì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = 0\))

\( = - 9{a^2} + \frac{1}{3}.4{a^2} = - \frac{{23}}{3}{a^2}\).

c) \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = \sqrt {4{a^2} + 9{a^2} + 16{a^2}} = a\sqrt {29} \).

d) Có \(AA' \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD} = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Câu 3