Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. \[M\]là trung điểm của \[SC\]. Gọi \[I\] là giao điểm của đường thẳng \[AM\] với mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{IA}}{{IM}}\].

Hướng dẫn giải

Chiều cao của sóng tại thời điểm 5 giây là \[h\left( 5 \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69,3{\rm{ }}\left( {cm} \right).\]

Chiều cao của sóng tại thời điểm 20 giây là \[h\left( {20} \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .20}}{8}} \right) = 75{\rm{ }}\left( {cm} \right).\]

Ta thấy \[ - 75 \le 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75\].

Sóng đạt chiều cao lớn nhất là \[75{\rm{ }}\left( m \right)\] khi \[\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow t = 4 + 16k.\]

Có \[0 \le t = 4 + 16k \le 30\]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{26}}{{16}}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0,k = 1\] và khi đó \[t = 4\], \[t = 20\] giây.

Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \[t = 0\] giây), các thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất là 4 giây và 20 giây.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_7} = 26\\u_2^2 + u_6^2 = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 6d = 26\\{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 5d} \right)^2} = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 6d = 26\\2u_1^2 + 12{u_1}d + 26{d^2} = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13 - 3d\\u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233\end{array} \right.\]

Thay \[{u_1} = 13 - 3d\] vào phương trình \[u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233\], ta được:

\[{\left( {13 - 3d} \right)^2} + 6\left( {13 - 3d} \right)d + 13{d^2} = 233\]

\[ \Leftrightarrow 169 - 78d + 9{d^2} + 78d - 18{d^2} + 13{d^2} - 233 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4{d^2} - 64 = 0\]\[ \Leftrightarrow {d^2} = 16\]

Do \[d < 0\] nên \[d = - 4\].

Suy ra \[{u_1} = 13 - 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 13 + 12 = 25\].

Vậy cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng \[{u_1} = 25\] và công sai \[d = - 4\].

Ta có: \[{u_{10}} = {u_1} + 9d = 25 + 9.\left( { - 4} \right) = - 11.\]

           \[{u_{2024}} = {u_1} + 2023d = 25 + 2023.\left( { - 4} \right) = - 8067.\]