Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại các thời điểm \[t\] (giây) của mỗi cơn sóng được cho bởi hàm số \[h\left( t \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right)\], trong đó \[h\left( t \right)\] được tính bằng centimét. (Tất cả các kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).

a) Chiều cao của sóng tại thời điểm 5 giây bằng \[69,3{\rm{ }}\left( {cm} \right)\].

b) Chiều cao của sóng tại thời điểm 20 giây bằng \[{\rm{75 }}\left( {cm} \right)\].

c) Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \[t = 0\] giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất là 6 giây.

d) Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \[t = 0\] giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất là 18 giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2

Gọi \[O\] là tâm hình bình hành \[ABCD.\] Ta có: \[I = AM \cap \left( {SBD} \right) = AM \cap SO.\] Xét tam giác \[SAC\], có \[AM\] và \[SO\] là hai đường trung tuyến của tam giác. Mà \[AM \cap SO = I\] nên \[I\] là trọng tâm của tam giác \[SAC\]. Do đó, \[\frac{{IA}}{{IM}} = 2.\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

          \[ \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\]

          \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\]

          \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\]

b) Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình, ta có:

Với \[ - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0\] khi \[k < \frac{1}{3}\], mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[{k_{\max }} = 0\]. Khi đó, \[x = - \frac{{2\pi }}{9}\] (1)

Với \[\frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0\] khi \[k < - \frac{1}{2}\] mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[{k_{\max }} = - 1\]. Khi đó, \[x = - \frac{\pi }{3}\] (2)

So sánh (1) và (2), ta suy ra \[x = - \frac{{2\pi }}{9}\] là nghiệm âm lớn nhất của phương trình.

c) Với \[0 < - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}\] thì \[\frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}\]. Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 1\].

Do đó, \[x = \frac{{4\pi }}{9}\].

Với \[0 < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}\] thì \[ - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}\]. Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0.\]

Do đó, \[x = \frac{\pi }{3}\].

Vậy phương trình có 2 nghiệm trong khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\].

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] là \[\frac{{4\pi }}{9} + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{9}.\]