Cho mệnh đề đúng.

Vì \(a,b\) là hai góc nhọn nên \(\cos a > 0;\cos b > 0\).

Vì \(\sin a = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\); \(\sin b = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos b = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\cos 2\left( {a + b} \right) = \cos \left( {2a + 2b} \right)\)\( = \cos 2a\cos 2b - \sin 2a\sin 2b\)

\( = \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}b - 1} \right) - 4\sin a\cos a\sin b\cos b\)

\( = \left( {2.\frac{8}{9} - 1} \right)\left( {2.\frac{3}{4} - 1} \right) - 4.\frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( = \frac{7}{{18}} - \frac{{2\sqrt 6 }}{9}\)\( = \frac{{7 - 4\sqrt 6 }}{{18}}\). Suy ra \(m = 4;n = 18\). Do đó \(m + 2n = 4 + 2.18 = 40\).

Trả lời: 40.