Cho hai biểu thức: \(N = \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}\) và \(P = \frac{3}{{\sqrt 8  + \sqrt 5 }} + \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}}.\)

a) Kết quả phép tính \[N\] là một số nguyên.

b) Kết quả của phép tính biểu thức \[P = 2\sqrt 2 \].

c) Giá trị của biểu thức \[N,\,\,P\] liên hệ với nhau bởi biểu thức \[N = 5P\].

d) Giá trị của biểu thức \[N,\,\,P\] là nghiệm của phương trình \[2{x^2} - 20\sqrt 2 x = 0.\]

a) Đúng. Với \[x > 0\,;\,\,x \ne 16\], ta có:

\[B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{x + 4\sqrt x }}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right) + 4\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 16}}\]

\[ = \frac{{x + 16}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 16}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}.\]

b) Sai. Thay \[x = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } \] (TMĐK) vào biểu thức ta có:

\[B = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  - 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - 4}} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - 1 - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 5} \right)}}{{2 - 25}} = \frac{{3 - 4\sqrt 2 }}{{23}}.\]

c) Đúng. Với \[x > 0\,;\,\,x \ne 16\], ta có: \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}\].

Khi \[x\] là một số chính phương thì \[\sqrt x  \in \mathbb{Z}\] thì \[\sqrt x  \in \mathbb{Z}\] và \[\sqrt x  - 4 \in \mathbb{Z}.\]

Do đó \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} \in \mathbb{Q}.\]

d) Đúng. Khi \[x > 16\] thì \[\sqrt x  > 0\] và \[\sqrt x  - 4 > 0\]. Do đó \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} > 0.\]

a) Đúng. Ta có \[A = \sqrt {25{x^2}}  - 7x = 5\left| x \right| - 7x.\]

b) Sai. Vì \[x \ge 0\] nên \[A = 5\left| x \right| - 7x = 5x - 7x =  - 2x.\]  

c) Đúng. Thay \[x =  - 3\] vào biểu thức \[A = 5\left| x \right| - 7x = 5 \cdot 3 - 7 \cdot \left( { - 3} \right) = 36.\]

d) Sai. Với \[x < 0\] nên \[A =  - 5x - 7x =  - 12x\]. Để \[A = 24\] thì \[ - 12x = 24\] nên \[x =  - 2\].