Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\). Các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên dương là

Chọn D

ĐKXĐ: \[x \ge 0\,;\,\,x \ne 1\,;\,\,x \ne 9.\]

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\sqrt x  - 3 + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \frac{3}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{3 + \sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right..\)

Khi đó \(\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \)Ư\[\left( 3 \right)\] và \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (*)\)

Suy ra \(\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ {1\,;\,\,3} \right\}\)

• Với \(\sqrt x  - 3 = 1\) thì \(\sqrt x  = 4\) nên \(x = 16\) (thỏa mãn (*))

• Với \(\sqrt x  - 3 = 3\) thì \(\sqrt x  = 6\) nên \(x = 36\) (thỏa mãn (*))

Vậy các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên dương là \(x = 16\,;\,\;x = 36\).