Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

Điều kiện \(0 < x < 50\).

Cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều \(AB = HK = 100 - 2x\).

Chiều cao của lăng trụ lục giác đều \(HA = MH.\tan 60^\circ = x\sqrt 3 \).

Diện tích đáy của hình lăng trụ lục giác đều \({S_{ABCDEF}} = 6{S_{ABO}} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).

Thể tích của khối lăng trụ lục giác đều: \(V\left( x \right) = HA.{S_{ABCDEF}} = \frac{9}{2}x{\left( {100 - 2x} \right)^2}\).

Ta có \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = 18{x^3} - 1800{x^2} + 45000x\) trên khoảng \(\left( {0;50} \right)\).

Ta có \(V'\left( x \right) = 54{x^2} - 3600x + 45000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{50}}{3}\\x = 50\end{array} \right.\).

Vì \(x \in \left( {0;50} \right)\) nên \(x = \frac{{50}}{3}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có thể tích của khối lăng trụ lục giác đều lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{50}}{3}\)cm.

Gắn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ.

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),A'\left( {0;0;3,2} \right),M\left( {4;4;1,6} \right),D'\left( {0;4;3,2} \right),I\left( {2;0;1,6} \right)\) .

Gọi \(E\left( {x;y;z} \right),F\left( {m;n;p} \right)\) .

Giả sử \(\overrightarrow {AE} = a\overrightarrow {AM} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4a\\y = 4a\\z = 1,6a\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {4a;4a;1,6a} \right)\) .

\(\overrightarrow {D'F} = b\overrightarrow {D'I} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n - 4 = - 4b\\p - 3,2 = - 1,6b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n = 4 - 4b\\p = 3,2 - 1,6b\end{array} \right.\)\( \Rightarrow F\left( {2b;4 - 4b;3,2 - 1,6b} \right)\) .

Ta có \(\overrightarrow {EF} = \left( {2b - 4a;4 - 4b - 4a;3,2 - 1,6b - 1,6a} \right)\) , \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3,2} \right)\) .

Đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà thì \(\overrightarrow {EF} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AA'} \) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}2b - 4a = 0\\4 - 4b - 4a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) . Khi đó \(\overrightarrow {EF} = \left( {0;0;1,6} \right) \Rightarrow EF = 1,6\) .

Vậy khoảng cách giữa hai con nhện bằng 1,6 m.