(1,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ \(A\) tiếp xúc với đường tròn tại \(B\) và \(C\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\), kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), hạ \(CM \bot BD\) tại \(M.\) Tia \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E,F\).

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng \[BE\] là phân giác của \(\widehat {ABC}.\)

c) Cho \[\widehat {DCM} = 30^\circ \] và \[AH = 4{\rm{ cm}}\]. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OB,OC\] và cung nhỏ \(BC\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng.      c) Sai.          d) Đúng.

• Theo đề bài, phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\) có tỉ lệ \(3:2\) hay \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có: \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\). Do đó, ý a) là đúng.

• Vì \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) nên \(\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.\) Do đó, ý b) là đúng.

• Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), ta có: \(AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4,47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Mà \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}\), suy ra \(AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4,47 = 6,705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)

Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng \(AB\). Do đó, ý c) là sai.

• Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy \(AB\) và phần gốc \(AC\).

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: \[4,47 + 6,705 = 11,175 \approx 11,18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]Do đó, ý d) là đúng.

Gọi độ dài của đoạn \[AE = x{\rm{ }}\left( {0 < x < 4} \right)\] (m), suy ra độ dài đoạn \[EB = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

\[AE = BH = GC = DF = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\] và \[BE = CH = GD = AF = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[AEF\] vuông tại \(A\), có:

\[A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}\]

\[{x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} = E{F^2}\]

\[2{x^2} - 8x + 16 = E{F^2}\]

Suy ra \[EF = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16}  = \sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8}  = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên \[FG = GH = HE = EF = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Suy ra, chu vi \[EFGH\] là: \[EF + FG + GH + HE = 4EF = 4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Để chu vi của tứ giác \[EFGH\] nhỏ nhất thì \[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] nhỏ nhất.

Với mọi \[0 < x < 4,\] ta có:

\[2{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\]

\[2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8 \ge 8\]

\[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}  \ge \sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}  \ge 4\sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8}  \ge 8\sqrt 2 \].

Do đó, chu vi của tứ giác \[EFGH\] nhỏ nhất bằng \[8\sqrt 2 {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\] khi \[x - 2 = 0\] hay \[x = 2{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]

Vậy khoảng cách từ \[A\] đến \[E\] bằng \[2{\rm{ m}}\] thì tứ giác \[EFGH\] có chu vi nhỏ nhất.