(0,5 điểm) Bác An có mảnh vườn hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng \[4{\rm{ m}}\]. Ở bốn góc vườn, bác An muốn trồng hoa vào các phần đất hình tam giác vuông bằng nhau (hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ góc vườn \[A\] đến vị trí \[E\] sao cho tứ giác \[EFGH\] có chu vi nhỏ nhất.

a) Ta có: \(AB,AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\), suy ra \(OA\) là đường phân giác của \(\widehat {BOC}\) (tính chất) nên \(\widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), ta có: \(\widehat {CDB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(BC\))

Do đó, \(\widehat {AOC} = \widehat {CDB}\).

Xét \(\Delta CMD\) và \(\Delta ACO\) có:

\(\widehat {CMD} = \widehat {ACO} = 90^\circ \) và \(\widehat {CDM} = \widehat {AOC}\) (do \(\widehat {AOC} = \widehat {CDB}\))

Do đó (g.g).

b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\), ta có: \(\widehat {EBF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có \(\widehat {ABO} = \widehat {EBF} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ABE} + \widehat {EBO} = \widehat {EBO} + \widehat {OBF}\)

Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {OBF}\).

Lại có: \(\widehat {OBF} = \widehat {OFB}\) (vì \(\Delta BOF\) cân tại \(O\) do \(OB = OF)\) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {OFB}\) (1)

Mà \(\widehat {ECB} = \widehat {OFB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\) của đường tròn tâm \(O\)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ECB} = \widehat {ABE}\). (3)

Mặt khác, \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OB = OC = R\)

Suy ra \(OA\) là đường trung trực của \(BC\) mà \(E \in OA\), suy ra \(EB = EC\).

Do đó \(\Delta EBC\) cân tại \(E\) nên \(\widehat {ECB} = \widehat {EBC}\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {EBC} = \widehat {ABE}\) nên \(BE\) là tia phân giác của góc \(B\) trong tam giác \(ABH\).

Vậy \[BE\] là phân giác của \(\widehat {ABC}.\)

c) Theo câu a, (g.g), suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {DCM} = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AOC} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Do đó, \(\widehat {BOC} = 2\widehat {AOC} = 120^\circ \) hay

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), có: \(\cos \widehat {HAC} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

Suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \frac{4}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Xét \(\Delta AOC\) vuông tại \(C\), có: \(OC = AC.\tan \widehat {OAC} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\tan 30^\circ = \frac{8}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OB,OC\] và cung nhỏ \(BC\) là:

\[S = \frac{{\pi .{{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{64\pi }}{{27}}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.                  b) Đúng.      c) Đúng.        d) Sai.

• Gọi giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn lần lượt là \(x,{\rm{ }}y\) (đồng). Điều kiện xác định \(x > 0,{\rm{ }}y > 0.\)

Do đó, ý a) là đúng.

• Vì một quyển sách bồi dưỡng Toán và một quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn với tổng số tiền theo giá niêm yết là \(270{\rm{ }}000\) đồng nên ta có phương trình \(x + y = 270{\rm{ }}000\). Do đó, ý b) là đúng.

• Vì An mua vào lúc cửa hàng có chương trình giảm giá nên khi thanh toán quyển sách Toán được giảm giá \(10\% \); quyển sách Ngữ Văn được giảm giá \(20\% \) nên chỉ cần phải trả \(228{\rm{ }}000\) đồng.

Do đó, ta có \(\left( {100\% - 10\% } \right)x + \left( {100\% - 20\% } \right)y = 228{\rm{ }}000\) hay \(0,9x + 0,8y = 228{\rm{ }}000\).

Từ đây, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 270{\rm{ }}000\\0,9x + 0,8y = 228{\rm{ }}000\end{array} \right.\).

Do đó, ý c) là đúng.

• Từ phương trình \(x + y = 270{\rm{ }}000\) suy ra \(y = 270{\rm{ }}000 - x\).

Thay \(y = 270{\rm{ }}000 - x\) vào \(0,9x + 0,8y = 228{\rm{ }}000\) ta được

\(0,9x + 0,8\left( {270{\rm{ }}000 - x} \right) = 228{\rm{ }}000\)

\(0,9x + 0,8 \cdot 270{\rm{ }}000 - 0,8x = 228{\rm{ }}000\)

\(0,1x = 228{\rm{ }}000 - 0,8 \cdot 270{\rm{ }}000\)

\(0,1x = 12{\rm{ }}000\)

\(x = 120{\rm{ }}000\)

Thay \(x = 120{\rm{ }}000\) suy ra \(y = 270{\rm{ }}000 - 120{\rm{ }}000 = 150{\rm{ }}000\) (đồng).

Vậy giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán là \(120{\rm{ }}000\) đồng và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn là \(150{\rm{ }}000\) đồng.

Vậy ý d) là sai.