(1,5 điểm) Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[C\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[K\] là trung điểm của dây cung \[BC\]. Qua \[B\] dựng tiếp tuyến với \[\left( O \right)\], cắt \[OK\] tại \[D\].

a) Chứng minh rằng \[OD \bot BC\] và \[\Delta ABC\] vuông.

b) Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c) Vẽ \[CH \bot AB\] tại \[H\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CH\]. Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt \[BI\] tại \[E\]. Chứng minh \[E,C,D\] thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Sai.              c) Đúng.        d) Đúng.

• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông \(ABC\), có:

\(AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272,22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Do đó, ý a) là sai.

• Do người đó có tầm mắt \[1,65{\rm{ m}}\] nên chiều cao của tòa nhà là:

\[272,22 - 1,65 = 270,57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy tòa nhà cao \[270,57{\rm{ m}}\].

Do đó, ý b) là sai.

• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \[E\] đến chân tòa nhà là độ dài đoạn \[EA\].

Xét tam giác vuông \[EAD\], ta có:

\[EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Do đó, ý c) là đúng.

• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là \[93,26 - 48 = 45,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau \[45,26{\rm{ m}}\].

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −16

Ta có: \[\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4\]

\[\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4\]

\[\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{6} - 4 \ge 0\]

\[\frac{{8 - x - 24}}{6} \ge 0\]

\[\frac{{ - x - 16}}{6} \ge 0\]

\[ - x - 16 \ge 0\]

\[x \le - 16\].

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \(x = - 16\).