(1,5 điểm) Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[C\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[K\] là trung điểm của dây cung \[BC\]. Qua \[B\] dựng tiếp tuyến với \[\left( O \right)\], cắt \[OK\] tại \[D\].
a) Chứng minh rằng \[OD \bot BC\] và \[\Delta ABC\] vuông.
b) Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].
c) Vẽ \[CH \bot AB\] tại \[H\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CH\]. Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt \[BI\] tại \[E\]. Chứng minh \[E,C,D\] thẳng hàng.
(1,5 điểm) Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[C\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[K\] là trung điểm của dây cung \[BC\]. Qua \[B\] dựng tiếp tuyến với \[\left( O \right)\], cắt \[OK\] tại \[D\].
a) Chứng minh rằng \[OD \bot BC\] và \[\Delta ABC\] vuông.
b) Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].
c) Vẽ \[CH \bot AB\] tại \[H\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CH\]. Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt \[BI\] tại \[E\]. Chứng minh \[E,C,D\] thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta OBC.\] Suy ra \[OK \bot BC\] hay \[OD \bot BC\].
Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ .\]
Vậy \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\].
b) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường phân giác của \[\Delta OBC.\] Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}.\)
Xét \[\Delta CDO\] và \[\Delta BDO\] có:
\[OD\] là cạnh chung; \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}\); \[OB = OC\]
Do đó \[\Delta CDO = \Delta BDO\] (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).
Như vậy, \[OC \bot DC\] tại \[C\] thuộc \(\left( O \right)\) hay \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].
|
c) Gọi \[F\] là giao điểm của \[BC,\,\,AE.\] Ta có: \[IC \bot AB\] và \[AF \bot AB\], suy ra \[IC\,{\rm{//}}\,AF\] hay \[IC\,{\rm{//}}\,EF\]. Xét \[\Delta BEF\], có: \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (1) Xét \[\Delta BAE\], có: \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (2) Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}\], mà \[IC = IH\] (do \(I\) là trung điểm của \(CH)\) nên \[EF = EA\] hay \[E\] là trung điểm của \[AF.\] Ta có \[\widehat {FCA} = 90^\circ \] (cùng bù với \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]) nên \[\Delta FCA\] vuông tại \[C\].
Xét \(\Delta ACF\) vuông tại \(C,\) có \(CE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AF\) nên \[CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.\] Xét \[\Delta CEO\] và \[\Delta AEO\], có: \[CE = AE\], \[OC = OA\] và \[OE\] là cạnh chung Do đó \[\Delta CEO = \Delta AEO\] (c.c.c) Suy ra \[\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng). Ta có: \[\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] hay \[\widehat {ECD} = 180^\circ \]. Vậy ba điểm \[E,C,D\] thẳng hàng. |
|
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\[ = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\].
Vậy với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
b) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\).\(BC\)
Theo đề, để \(2P = 2\sqrt x + 5\) thì \(\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5\)
Suy ra \(2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x \) hay \(2x + 3\sqrt x - 2 = 0\) do đó \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right) = 0\)
Suy ra \(\sqrt x + 2 = 0\) hoặc \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0\).
Do đó, \(\sqrt x = - 2\) (vô lí) hoặc \(\sqrt x = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = \frac{1}{4}\) thì \(2P = 2\sqrt x + 5\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đặt \[AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\].
Ta có tứ giác \[ADME\] có \[\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \] nên \[ADME\] là hình chữ nhật.
Do đó, \[EM = AD = x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Ta có \(EM\,{\rm{//}}\,AB\) (cùng vuông góc với \(AC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès, ta có:
\[\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}\] hay \[\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}\] suy ra \[CE = \frac{4}{3}x\].
Ta có \[AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x\].
Diện tích hình chữ nhật \[ADME\] là:
\[{S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)\]\[ = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)\]
\[ = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12\]\[ = - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12\].
Vì \[{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi \[x - 3 = 0\] hay \[x = 3.\]
Khi đó \[D\] là trung điểm của \[AB\].
Lúc này, xét \(\Delta ABC\) có \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(DM\,{\rm{//}}\,AC\) (cùng vuông góc với \(AB)\) nên \(DM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC,\) suy ra \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Như vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \[ADME\] bằng \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập