(1,5 điểm) Cho parabol \(\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}.\)

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm \(M\) giao điểm \(\left( P \right)\) (khác gốc tọa độ) có hoành độ bằng tung độ.

Gọi \(x\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}\) là tốc độ trượt ván của Bình và \(y\) (giây) là thời gian cuộc đua đã diễn ra \(\left( {x > 0\,;\,\,y > 0} \right).\)

Vì tốc độ trượt ván của An gấp 3 lần tốc độ trượt ván của Bình nên tốc độ trượt ván của An là \(3x\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}{\rm{.}}\)

Vì tốc độ trượt ván của Bình gấp 3 lần tốc độ chạy bộ của An nên An chạy bộ với tốc độ là \(\frac{x}{3}\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}{\rm{.}}\)

Thời gian An chạy bộ là \(y - 180\) (giây).

Quãng đường mà An trượt ván và chạy là \(3x \cdot 180 + \frac{x}{3} \cdot \left( {y - 180} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Quãng đường mà Bình trượt ván là \(xy\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vì quãng đường của An và Bình đi là như nhau nên ta có phương trình:

\(3x \cdot 180 + \frac{x}{3} \cdot \left( {y - 180} \right) = xy\)

\(540x + \frac{{xy}}{3} - 60x = xy\)

\(480x = \frac{2}{3}xy\)

\(\frac{2}{3}x = 480\) (do \(x \ne 0)\)

\(y = 720\) (thỏa mãn).

Vậy thời gian cuộc đua diễn ra là 720 giây \[ = 12\] phút.

a) Diện tích khu vườn hình chữ nhật là: \(xy\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Bán kính hồ hình tròn tiếp xúc với các cạnh của khu vườn là: \[\frac{x}{2}\,\,({\rm{m}}).\]

Diện tích hồ hình tròn là: \[\pi \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{4}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]

Vậy diện tích phần còn lại của khu vườn sau khi xây hồ là \[\frac{{\pi {x^2}}}{4}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]

b) Vì khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên \(y = 2x.\)

Diện tích phần còn lại của khu vườn là \(77,76\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có

\(xy - \frac{{\pi {x^2}}}{4} = 77,76\)

\(x \cdot 2x - \frac{{\pi {x^2}}}{4} = 77,76\)

\(8{x^2} - \pi {x^2} = 311,04\)

\({x^2}\left( {8 - \pi } \right) = 311,04\)

\({x^2}\left( {8 - \pi } \right) = 311,04\)

\({x^2} \approx 64\)

\(x = - 8\) (loại) hoặc \(x = 8\) (thỏa mãn).