Bài 5. (1,0 điểm) Bác Nam có một khối gỗ có dạng hình trụ với chiều cao là \(40\,\,{\rm{cm}}\) và đường kính đáy là \(20\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Bác Nam muốn tiện khối gỗ này thành một vật trang trí có dạng hình nón có cùng chiều cao và bán kính với khối hình trụ ban đầu.

a) Tính thể tích phần gỗ bỏ đi khi thực hiện việc tiện gỗ hình trụ thành vật trang trí hình nón.

b) Sau khi hoàn thành sản phẩm, bác Nam dự tính phun sơn bề mặt bên ngoài của vật trang trí. Tính diện tích cần phải phun sơn (bao gồm cả mặt đáy).

(Các kết quả làm tròn chính xác đến hàng phần trăm của đơn vị)

Biết công thức tính thể tích khối trụ là \(V = \pi {R^2}h\) \((R\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao); công thức tính thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h;\) công thức tính diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi Rl\) (\(l\) là độ dài đường sinh).

Gọi \(x\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}\) là tốc độ trượt ván của Bình và \(y\) (giây) là thời gian cuộc đua đã diễn ra \(\left( {x > 0\,;\,\,y > 0} \right).\)

Vì tốc độ trượt ván của An gấp 3 lần tốc độ trượt ván của Bình nên tốc độ trượt ván của An là \(3x\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}{\rm{.}}\)

Vì tốc độ trượt ván của Bình gấp 3 lần tốc độ chạy bộ của An nên An chạy bộ với tốc độ là \(\frac{x}{3}\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}{\rm{.}}\)

Thời gian An chạy bộ là \(y - 180\) (giây).

Quãng đường mà An trượt ván và chạy là \(3x \cdot 180 + \frac{x}{3} \cdot \left( {y - 180} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Quãng đường mà Bình trượt ván là \(xy\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vì quãng đường của An và Bình đi là như nhau nên ta có phương trình:

\(3x \cdot 180 + \frac{x}{3} \cdot \left( {y - 180} \right) = xy\)

\(540x + \frac{{xy}}{3} - 60x = xy\)

\(480x = \frac{2}{3}xy\)

\(\frac{2}{3}x = 480\) (do \(x \ne 0)\)

\(y = 720\) (thỏa mãn).

Vậy thời gian cuộc đua diễn ra là 720 giây \[ = 12\] phút.

a) Tổng số lần gieo xúc xắc là: \(7 + 5 + 3 + 6 + 5 + 4 = 30\) (lần).

Tổng số chấm sau các lần gieo là: \(7 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 5 + 4 \cdot 6 = 99\) (chấm).

Giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo của bạn A là: \(\frac{{99}}{{30}} \approx 3\) (chấm).

Vậy giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo của bạn A là 3 chấm.

b) Số lần xuất hiện mặt 2 chấm là 5 lần.

Xác suất thực nghiệm của biến cố A: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là số 2” là: \(\frac{5}{{30}} = \frac{1}{6}.\)

c) Số lần xuất hiện mặt số chấm lớn hơn 3 (tức là 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm) là: \(6 + 5 + 4 = 15\) (chấm).

Xác suất thực nghiệm của biến cố B: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là một số lớn hơn 3” là:

\(\frac{{15}}{{30}} = \frac{1}{2}.\)