(1,5 điểm) Bạn A gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất nhiều lần. Các kết quả sau khi kết thúc việc gieo con xúc xắc được bạn Bình thể hiện trong biểu đồ đoạn thẳng sau:

a) Tìm giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo của bạn A.

b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là số 2”.

c) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố B: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là một số lớn hơn 3”.

Gọi \(x\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}\) là tốc độ trượt ván của Bình và \(y\) (giây) là thời gian cuộc đua đã diễn ra \(\left( {x > 0\,;\,\,y > 0} \right).\)

Vì tốc độ trượt ván của An gấp 3 lần tốc độ trượt ván của Bình nên tốc độ trượt ván của An là \(3x\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}{\rm{.}}\)

Vì tốc độ trượt ván của Bình gấp 3 lần tốc độ chạy bộ của An nên An chạy bộ với tốc độ là \(\frac{x}{3}\,\,{\rm{(m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s)}}{\rm{.}}\)

Thời gian An chạy bộ là \(y - 180\) (giây).

Quãng đường mà An trượt ván và chạy là \(3x \cdot 180 + \frac{x}{3} \cdot \left( {y - 180} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Quãng đường mà Bình trượt ván là \(xy\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vì quãng đường của An và Bình đi là như nhau nên ta có phương trình:

\(3x \cdot 180 + \frac{x}{3} \cdot \left( {y - 180} \right) = xy\)

\(540x + \frac{{xy}}{3} - 60x = xy\)

\(480x = \frac{2}{3}xy\)

\(\frac{2}{3}x = 480\) (do \(x \ne 0)\)

\(y = 720\) (thỏa mãn).

Vậy thời gian cuộc đua diễn ra là 720 giây \[ = 12\] phút.

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\left( {0\,;\,\,0} \right);\,\,A\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right);\,\,B\left( { - 1\,;\,\, - 0,5} \right);\,\,\)\(C\left( {1\,;\,\, - 0,5} \right);\,\,\)\(D\left( {2\,;\,\, - 2} \right).\)

Hệ số \(a = \frac{1}{2} < 0\) nên parabol có bề lõm hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

b) Gọi \(M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( P \right).\)

Vì \(M\) có hoành độ bằng tung độ nên:

\({x_M} = - \frac{1}{2}x_M^2\)

\(2{x_M} + x_M^2 = 0\)

\({x_M}\left( {2 + {x_M}} \right) = 0\)

Có hai giá trị thỏa mãn là \({x_M} = 0\) (loại vì điểm cần tìm khác gốc tọa độ); \({x_M} = - 2.\)

Vậy điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng tung độ là \(\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right).\)