(1,5 điểm) Bạn A gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất nhiều lần. Các kết quả sau khi kết thúc việc gieo con xúc xắc được bạn Bình thể hiện trong biểu đồ đoạn thẳng sau:

a) Tìm giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo của bạn A.

b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là số 2”.

c) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố B: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là một số lớn hơn 3”.

a) Vì \(\widehat {ACD}\) chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ADC\) có

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = 90^\circ ;\)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC).\)

Do đó

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay \(AB \cdot AC = AH \cdot AD\) (đpcm).

b) Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\widehat {CAD}\) chung; \(\widehat {AFC} = \widehat {ACD} = 90^\circ .\)

Do đó

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}}\) hay \(AF \cdot AD = A{C^2}\) (đpcm).

Ta có \(\Delta AFC\) vuông tại \(F\) nên \(A,\,\,F,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\,;\)

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) nên \(A,\,\,H,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\,.\)

Do đó \(A,\,\,F,\,\,C,\,\,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\,.\)

Suy ra \(\widehat {CHF} = \widehat {CAF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(CF).\)   (1)

Ta có \(\widehat {CAF} + \widehat {ACF} = 90^\circ \) (do \(\Delta AFC\) vuông tại \(F)\) và \(\widehat {FCD} + \widehat {ACF} = 90^\circ .\) Suy ra \(\widehat {CAF} = \widehat {FCD}.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {CHF} = \widehat {DCF}\) (đpcm).

c) Vì \(\Delta ABC\) có \(BK,\,\,AH\) là đường cao cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Khi đó \(CI \bot AB.\)

Mà \(BD \bot AB\) (do \(\widehat {ABD}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(CI\,{\rm{//}}\,BD.\)

Lại có \(BI\,{\rm{//}}\,CD\) (do cùng vuông góc với \(AC)\)

Do đó \(BICD\) là hình bình hành.

Gọi \(M\) là giao điểm của \(DI\) và \(BC.\)

Khi đó \(M\) là trung điểm của \(DI\) và \(BC\) (tính chất hình bình hành).

Xét \(\Delta DAI\) có \(O\) là trung điểm của \(AD\) và \(M\) là trung điểm của \(DI\) nên \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta DAI.\)

Suy ra \(OM = \frac{1}{2}AI\) hay \(AI = 2OM.\)

Ta có \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \) (góc nội tiếp chắn cung \(BC).\)

Vì \(\Delta BOC\) cân tại \(O\) có \(OM\) là đường trung tuyến nên \(OM\) đồng thời là phân giác của \(\widehat {BOC}\) và cũng là đường cao của \(\Delta BOC.\)

Khi đó \(\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = 60^\circ .\)

Xét \(\Delta BOM\) vuông tại \(M\) có: \[OM = BM \cdot \cot \widehat {MOB} = \frac{1}{2}BC \cdot \cot \widehat {MOB} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \cot 60^\circ = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \[AI = 2 \cdot OM = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

a) Diện tích khu vườn hình chữ nhật là: \(xy\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Bán kính hồ hình tròn tiếp xúc với các cạnh của khu vườn là: \[\frac{x}{2}\,\,({\rm{m}}).\]

Diện tích hồ hình tròn là: \[\pi \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{4}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]

Vậy diện tích phần còn lại của khu vườn sau khi xây hồ là \[\frac{{\pi {x^2}}}{4}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]

b) Vì khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên \(y = 2x.\)

Diện tích phần còn lại của khu vườn là \(77,76\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có

\(xy - \frac{{\pi {x^2}}}{4} = 77,76\)

\(x \cdot 2x - \frac{{\pi {x^2}}}{4} = 77,76\)

\(8{x^2} - \pi {x^2} = 311,04\)

\({x^2}\left( {8 - \pi } \right) = 311,04\)

\({x^2}\left( {8 - \pi } \right) = 311,04\)

\({x^2} \approx 64\)

\(x = - 8\) (loại) hoặc \(x = 8\) (thỏa mãn).