(1,0 điểm) Hai bạn An và Bình đua với nhau bằng ván trượt. Biết rằng nếu cả hai cùng dùng ván trượt thì tốc độ của An gấp 3 lần của Bình, nhưng tốc độ trượt ván của Bình sẽ gấp 3 lần tốc độ chạy bộ của An. Khi tham gia cuộc đua, hai bạn xuất phát cùng một lúc bằng ván trượt, nhưng sau đó 3 phút, ván trượt của An bị hỏng và bạn ấy phải chạy bộ về đích. Biết rằng cả hai bạn về đích cùng lúc, hỏi cuộc đua đã diễn ra trong bao nhiêu phút? (Giả sử tốc độ trượt ván, tốc độ chạy bộ của An và tốc độ trượt ván của Bình không thay đổi trong suốt cuộc đua).

a) Diện tích khu vườn hình chữ nhật là: \(xy\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Bán kính hồ hình tròn tiếp xúc với các cạnh của khu vườn là: \[\frac{x}{2}\,\,({\rm{m}}).\]

Diện tích hồ hình tròn là: \[\pi \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{4}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]

Vậy diện tích phần còn lại của khu vườn sau khi xây hồ là \[\frac{{\pi {x^2}}}{4}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\]

b) Vì khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên \(y = 2x.\)

Diện tích phần còn lại của khu vườn là \(77,76\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có

\(xy - \frac{{\pi {x^2}}}{4} = 77,76\)

\(x \cdot 2x - \frac{{\pi {x^2}}}{4} = 77,76\)

\(8{x^2} - \pi {x^2} = 311,04\)

\({x^2}\left( {8 - \pi } \right) = 311,04\)

\({x^2}\left( {8 - \pi } \right) = 311,04\)

\({x^2} \approx 64\)

\(x = - 8\) (loại) hoặc \(x = 8\) (thỏa mãn).

a) Thể tích khối gỗ dạng hình trụ là:

\({V_T} = \pi {R^2}h = \pi \cdot {10^2} \cdot 40 = 4000\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

Thể tích khối gỗ dạng hình nón là:

\({V_N} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi \cdot {10^2} \cdot 40 = \frac{{4000\pi }}{3}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

Thể tích phần khối gỗ bỏ đi khi thực hiện việc tiện gỗ hình trụ thành vật trang trí hình nón là:

\(V = {V_T} - {V_N} = 4000\pi - \frac{{4000\pi }}{3} \approx 8377,58\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

Vậy thể tích phần gỗ bỏ đi khi thực hiện việc tiện gỗ hình trụ thành vật trang trí hình nón khoảng \(8377,58\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)

b) Đường sinh của hình nón là:

\(l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \sqrt {{{40}^2} + {{10}^2}} = \sqrt {1700} \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Diện tích xung quanh hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \cdot 10 \cdot \sqrt {1700} = 100\sqrt {17} \pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích mặt đáy là: $S_{đ}=\pi R^2=100\pi \left({\text{cm}}^2\right).$

Diện tích cần phủ sơn là:

 $S=S_{xq}+S_{đ}=100\sqrt{17}\pi +100\pi \approx 1609,47\left({\text{cm}}^2\right).$

Vậy diện tích cần phủ sơn khoảng \(1609,47\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)