(1,0 điểm) Hai bạn An và Bình đua với nhau bằng ván trượt. Biết rằng nếu cả hai cùng dùng ván trượt thì tốc độ của An gấp 3 lần của Bình, nhưng tốc độ trượt ván của Bình sẽ gấp 3 lần tốc độ chạy bộ của An. Khi tham gia cuộc đua, hai bạn xuất phát cùng một lúc bằng ván trượt, nhưng sau đó 3 phút, ván trượt của An bị hỏng và bạn ấy phải chạy bộ về đích. Biết rằng cả hai bạn về đích cùng lúc, hỏi cuộc đua đã diễn ra trong bao nhiêu phút? (Giả sử tốc độ trượt ván, tốc độ chạy bộ của An và tốc độ trượt ván của Bình không thay đổi trong suốt cuộc đua).

a) Tổng số lần gieo xúc xắc là: \(7 + 5 + 3 + 6 + 5 + 4 = 30\) (lần).

Tổng số chấm sau các lần gieo là: \(7 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 5 + 4 \cdot 6 = 99\) (chấm).

Giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo của bạn A là: \(\frac{{99}}{{30}} \approx 3\) (chấm).

Vậy giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo của bạn A là 3 chấm.

b) Số lần xuất hiện mặt 2 chấm là 5 lần.

Xác suất thực nghiệm của biến cố A: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là số 2” là: \(\frac{5}{{30}} = \frac{1}{6}.\)

c) Số lần xuất hiện mặt số chấm lớn hơn 3 (tức là 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm) là: \(6 + 5 + 4 = 15\) (chấm).

Xác suất thực nghiệm của biến cố B: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là một số lớn hơn 3” là:

\(\frac{{15}}{{30}} = \frac{1}{2}.\)

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\left( {0\,;\,\,0} \right);\,\,A\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right);\,\,B\left( { - 1\,;\,\, - 0,5} \right);\,\,\)\(C\left( {1\,;\,\, - 0,5} \right);\,\,\)\(D\left( {2\,;\,\, - 2} \right).\)

Hệ số \(a = \frac{1}{2} < 0\) nên parabol có bề lõm hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

b) Gọi \(M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( P \right).\)

Vì \(M\) có hoành độ bằng tung độ nên:

\({x_M} = - \frac{1}{2}x_M^2\)

\(2{x_M} + x_M^2 = 0\)

\({x_M}\left( {2 + {x_M}} \right) = 0\)

Có hai giá trị thỏa mãn là \({x_M} = 0\) (loại vì điểm cần tìm khác gốc tọa độ); \({x_M} = - 2.\)

Vậy điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng tung độ là \(\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right).\)