Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20 thì dư 5, khi xếp hàng 30 thì thiếu 15, nhưng khi xếp hàng 35 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó, biết rằng số người của đơn vị nhiều hơn \(800\) và chưa đến \(1\,\,000.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (người) là số bộ đội của đơn vị đó \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,800 < x < 1\,\,000} \right)\).

Vì nếu xếp hàng 20 thì dư 5 nên \(\left( {x - 5} \right)\,\, \vdots \,\,20\) suy ra \(\left( {x - 5 + 20} \right)\,\, \vdots \,\,20\) hay \(\left( {x + 15} \right)\,\, \vdots \,\,20\).

Vì nếu xếp hàng 30 thì thiếu 15 nên \(\left( {x + 15} \right)\,\, \vdots \,\,30\).

Suy ra \(x + 15 \in \)BC\(\left( {20,\,\,30} \right)\).

Ta có: \(20 = {2^2} \cdot 5\) và \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).

Do đó BCNN\(\left( {20,\,\,30} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\).

Nên BC\(\left( {20,\,\,30} \right) = \) B\[\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,...;\,\,780;\,\,840;\,\,900;\,\,960;\,\,1\,\,020;\,\,...} \right\}\].

Hay \(x + 15 \in \left\{ {0;\,\,60;\,\,...;\,\,780;\,\,840;\,\,900;\,\,960;\,\,1\,\,020;\,\,...} \right\}\)

Suy ra \(x \in \left\{ { - 15;\,\,45;\,\,...;\,\,765;\,\,825;\,\,885;\,\,945;\,\,1\,\,005;\,\,...} \right\}\)

Vì nếu xếp hàng 35 thì vừa đủ nên \(x\,\, \vdots \,\,35\), do đó

\(x \in \left\{ {0;\,\,35;\,\,...;\,\,805;\,\,840;\,\,875;\,\,910;\,\,945;\,\,980;\,\,1\,\,015;\,\,...} \right\}\)

Mà \(800 < x < 1\,\,000\) nên \(x = 945.\)

Vậy đơn vị đó có \(945\) người.