Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + z - 5 = 0\) và các vectơ sau: \(\overrightarrow a = \left( {1;2;1} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 2; - 1} \right),\overrightarrow c = \left( {2;1; - 5} \right),\overrightarrow d = \left( {1;1;2} \right),\overrightarrow e = \left( { - 5; - 10; - 5} \right)\). Có bao nhiêu vectơ là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α)?

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0; 0; 0), D(2; 0; 0), B(0; 4; 0), S(0; 0; 4). Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SCD. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMG) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3; - 2; - 2} \right),B\left( {3;2;0} \right),C\left( {0;2;1} \right)\). Phương tình mặt phẳng (ABC) là

a) Trong không gian Oxyz, cho \(M\left( { - 2; - 4;3} \right)\) và \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\), \(\left( Q \right):2x - y + 2z - 6 = 0\).

( a) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2\).

(b) M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

(c) \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1\).

(d) (α) song song và cách (Q) một khoảng bằng 2 có phương trình là \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 9 = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho A(3; 9; −1), B(2; 0; 1) và hai mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 3 = 0\), \(\left( Q \right):2x - 4y + 4z + 7 = 0\).

( a) (P) song song với (Q).

(b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 10.

(c) Điểm C thuộc mặt phẳng (P) và thẳng hàng với A, B có tọa độ là \(C\left( {\frac{{43}}{{21}};\frac{3}{7};\frac{{19}}{{21}}} \right)\).

(d) Phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm B và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy) là \(x + y + z - 1 = 0\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 3 = 0 và điểm A(1; −2; 3). Khi đó:

(a) d(A, (P)) = 4.

(b) (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1.

(c) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\).

(d) Gọi M(a; b; c)  (P) thỏa mãn AM = 4 thì \(a + b + c = \frac{2}{3}\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) và \(D\left( {2;1;3} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a - 2b\).