Cho điểm M(1; 3; 4). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;4;b} \right)\). Tính \(2a + b\).

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0; 0; 0), D(2; 0; 0), B(0; 4; 0), S(0; 0; 4). Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SCD. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMG) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3; - 2; - 2} \right),B\left( {3;2;0} \right),C\left( {0;2;1} \right)\). Phương tình mặt phẳng (ABC) là

a) Trong không gian Oxyz, cho \(M\left( { - 2; - 4;3} \right)\) và \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\), \(\left( Q \right):2x - y + 2z - 6 = 0\).

( a) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2\).

(b) M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

(c) \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1\).

(d) (α) song song và cách (Q) một khoảng bằng 2 có phương trình là \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 9 = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho A(3; 9; −1), B(2; 0; 1) và hai mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 3 = 0\), \(\left( Q \right):2x - 4y + 4z + 7 = 0\).

( a) (P) song song với (Q).

(b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 10.

(c) Điểm C thuộc mặt phẳng (P) và thẳng hàng với A, B có tọa độ là \(C\left( {\frac{{43}}{{21}};\frac{3}{7};\frac{{19}}{{21}}} \right)\).

(d) Phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm B và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy) là \(x + y + z - 1 = 0\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 3 = 0 và điểm A(1; −2; 3). Khi đó:

(a) d(A, (P)) = 4.

(b) (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1.

(c) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\).

(d) Gọi M(a; b; c)  (P) thỏa mãn AM = 4 thì \(a + b + c = \frac{2}{3}\).

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): \(x - 2y + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 2y - 3z + 20 = 0\). Hỏi là chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị).