Cho điểm M(1; 3; 4). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;4;b} \right)\). Tính \(2a + b\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) và \(D\left( {2;1;3} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a - 2b\).

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0; 0; 0), D(2; 0; 0), B(0; 4; 0), S(0; 0; 4). Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SCD. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMG) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(1; 2; −3) đến (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 là

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): \(x - 2y + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 2y - 3z + 20 = 0\). Hỏi là chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z - 6 = 0\). Điểm nào dưới đây không thuộc (α).

a) Trong không gian Oxyz, cho \(M\left( { - 2; - 4;3} \right)\) và \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\), \(\left( Q \right):2x - y + 2z - 6 = 0\).

( a) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2\).

(b) M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

(c) \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1\).

(d) (α) song song và cách (Q) một khoảng bằng 2 có phương trình là \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 9 = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 0), B(4; 1; 2).

(a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\).

(b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là \(3x + y + 2z - 3 = 0\).

(c) Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).

(d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình là \(3x + y + 2z - 12 = 0\).