Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0; 0; 0), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 500; - 250;150} \right),B\left( { - 200; - 200;100} \right)\). Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là (a; b; c). Giá trị của biểu thức \( - 3a - b - c\) là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; −1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), \(B\left( { - 3; - 4;2} \right)\), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 6y - 3z + 2024 = 0\).

(a) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).

(b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).

(c) Góc giữa Δ và (P) là 90°.

(d) Lấy tùy ý hai điểm phân biệt A, B ∈ △. Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó A'B' = 2024.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = - 5 + 3t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).

( a) Đường thẳng đi qua điểm A(1; −1; 0).

(b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 6; - 4} \right)\).

(c) Đường thẳng d song song với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\).

(d) Đường thẳng d và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) chéo nhau.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\)và mặt phẳng (P): \(2x + y - 2z + 1 = 0\). Gọi N là điểm thuộc Δ và có hoành độ bằng 2.

(a) Điểm M(0; 1; −1) thuộc Δ.

(b) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)\).

( c) Tung độ của N là 2.

(d) Khoảng cách từ N đến (P) là \(d = \frac{{16}}{3}\).