Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), \(B\left( { - 3; - 4;2} \right)\), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; −1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\)và mặt phẳng (P): \(2x + y - 2z + 1 = 0\). Gọi N là điểm thuộc Δ và có hoành độ bằng 2.

(a) Điểm M(0; 1; −1) thuộc Δ.

(b) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)\).

( c) Tung độ của N là 2.

(d) Khoảng cách từ N đến (P) là \(d = \frac{{16}}{3}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 3), B(2; −1; 0), C(−1; −1; 4), \(D\left( {3;1; - 2} \right)\). Khi đó

(a) Đường thẳng đi qua AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 6; - 6} \right)\).

(b) Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.

(c) Góc giữa đường thẳng AB và AD là 33° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

(d) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) là 20° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 6y - 3z + 2024 = 0\).

(a) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).

(b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).

(c) Góc giữa Δ và (P) là 90°.

(d) Lấy tùy ý hai điểm phân biệt A, B ∈ △. Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó A'B' = 2024.

Một robot di chuyển theo đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Mặt tường của nhà kho có phương trình \(\left( P \right):x + y + z = 2\). Tọa độ điểm mà robot sẽ chạm vào tường có dạng (a; b; c). Tính a + b + c.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{6} = \frac{{z - 1}}{9}\) có một vectơ chỉ phương là