Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; −1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng  ta được \[\left\{ \begin{array}{l}0 = t\\1 = 1\\ - 1 = - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow t = 0\] (đúng).

Suy ra M ∈ △.

b) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 2} \right)\).

c) Điển N có hoành độ bằng 2 suy ra \(t = 2\)

Tọa độ điểm N là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = - 5\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;1; - 5} \right)\].

Tung độ của N là 1.

d) \(d\left( {N,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.\left( { - 5} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{3}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {2; - 6; - 6} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow u \).

Do đó đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 6; - 6} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {CD} = \left( {4;2; - 6} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 1.4 + \left( { - 3} \right).2 + \left( { - 3} \right).\left( { - 6} \right) = 16 \ne 0\).

Do đó đường thẳng AB không vuông góc với đường thẳng CD.

c) Có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2; - 1; - 5} \right)\).

Có \(\cos \left( {AB,AD} \right) = \frac{{\left| {1.2 - 3.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {570} }} \Rightarrow \left( {AB,AD} \right) \approx 33^\circ \).

d) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;0;4} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {1;2; - 2} \right),\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 8; - 2; - 6} \right) = - 2\left( {4;1;3} \right) = 2\overrightarrow n \).

Mặt phẳng (BCD) nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\sin \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.4 - 3.1 - 3.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{4^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {494} }}\) \( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) \approx 21^\circ \).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.