Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho ba điểm \[A\left( {1; - 2;1} \right)\], \[B\left( { - 1;3;3} \right)\], \[C\left( {2; - 4;2} \right)\]. Một vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \] của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là:

Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí A(0; 10; 0) với vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right)\). Biết góc nâng của máy bay là \(\gamma = a^\circ \)(góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng độ). Khi đó giá trị của a bằng bao nhiêu?

Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ (42 × 42 cm) bằng súng tiểu liên AK trong không gian Oxyz. Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là 100 m, trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' lần lượt có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2\\z = 4\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Để bắn trúng hồng tâm (điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm N(a; b; c) ∈ d' và cách giao điểm của d và d' một khoảng 6 cm. Khi c < 0, tính giá trị biểu thức \(a - b + c\).

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).

(a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).

(b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d có phương trình tổng quát là 2x + by + cz + d = 0. Khi đó b + c + d = −5.

(c) Gọi M' là điểm đối xứng với M qua d. Khi đó M'(1; 0; −2).

(d) Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng d có dạng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{a} = \frac{z}{b}\). Khi đó a + b = −6.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t'\\y = 1 - t'\\z = - 3\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của \(\Delta \) và \(\Delta '\) là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) có tâm I và bán kính R.

(a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 2) và bán kính R = 3.

( b) Điểm A(0; 2; −3) nằm trong mặt cầu.

(c) Điểm J(1; 2; 3) nằm ngoài mặt cầu và khoảng cách từ tâm I đến điểm J bằng \(\sqrt {10} \).

(d) Khoảng cách từ tâm I đến tâm mặt cầu \(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\) bằng \(\sqrt 2 \).

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2 - t\end{array} \right.\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\Delta \) ?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x + 2y - z + 3 = 0\) và các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;2} \right),C\left( {1;3; - 2} \right)\).

(a) Điểm B cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3.

(b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là \(2x + 2y - z - 4 = 0\).

(c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

(d) Gọi H(a; b; c) là hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (P). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a - b + 9c\) bằng −4.