Trong không gian \(Oxyz,\) cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(5;\;3;\;6),\;\;B(1;\;1;\;4),\;\;C(2;\;1;\;2)\) và \(D(0;\;0;\;4).\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí A(0; 10; 0) với vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right)\). Biết góc nâng của máy bay là \(\gamma = a^\circ \)(góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng độ). Khi đó giá trị của a bằng bao nhiêu?

Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ (42 × 42 cm) bằng súng tiểu liên AK trong không gian Oxyz. Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là 100 m, trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' lần lượt có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2\\z = 4\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Để bắn trúng hồng tâm (điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm N(a; b; c) ∈ d' và cách giao điểm của d và d' một khoảng 6 cm. Khi c < 0, tính giá trị biểu thức \(a - b + c\).

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).

(a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).

(b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d có phương trình tổng quát là 2x + by + cz + d = 0. Khi đó b + c + d = −5.

(c) Gọi M' là điểm đối xứng với M qua d. Khi đó M'(1; 0; −2).

(d) Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng d có dạng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{a} = \frac{z}{b}\). Khi đó a + b = −6.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t'\\y = 1 - t'\\z = - 3\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của \(\Delta \) và \(\Delta '\) là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) có tâm I và bán kính R.

(a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 2) và bán kính R = 3.

( b) Điểm A(0; 2; −3) nằm trong mặt cầu.

(c) Điểm J(1; 2; 3) nằm ngoài mặt cầu và khoảng cách từ tâm I đến điểm J bằng \(\sqrt {10} \).

(d) Khoảng cách từ tâm I đến tâm mặt cầu \(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\) bằng \(\sqrt 2 \).

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2 - t\end{array} \right.\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\Delta \) ?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x + 2y - z + 3 = 0\) và các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;2} \right),C\left( {1;3; - 2} \right)\).

(a) Điểm B cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3.

(b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là \(2x + 2y - z - 4 = 0\).

(c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

(d) Gọi H(a; b; c) là hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (P). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a - b + 9c\) bằng −4.